Để chứng minh các kết quả trong bài toán, ta sẽ lần lượt xem xét từng phần một theo yêu cầu:

**a. Chứng minh tứ giác BPQC là hình thang:**

Ta có tứ giác BPQC với AB là cạnh trên và CD là cạnh dưới. Theo giả thiết, ta có:

- AP = CQ

Lưu ý rằng trong hình bình hành ABCD, các cạnh đối diện song song và bằng nhau. Do đó, chiều dài của AB và CD cũng bằng nhau:

- AB // CD

Vì AP = CQ và AB = CD, điều này chứng minh rằng hai cặp cạnh song song và chứa các đoạn AP và CQ mang lại cho tứ giác BPQC tính chất của hình thang. Do đó, tứ giác BPQC là hình thang.

**b. Chứng minh tứ giác CQAP là hình bình hành:**

Ta có hai cặp cạnh đối diện trong tứ giác CQAP. Ta cần chứng minh rằng:

- CQ = AP (đoạn của các điểm đã cho)
- CA // QP (vì AB // CD và tương ứng)

Cũng dựa vào tính chất của hình bình hành ABCD, ta biết rằng:

- AB // CD
- AD // BC

Ta cũng có CQ = AP từ giả thiết, do đó CQAP có hai cặp cạnh đối diện vừa bằng nhau vừa song song, chứng tỏ rằng CQAP là hình bình hành.

**c. Chứng minh rằng Ba đường thẳng AC, MN, PQ đồng quy:**

Để chứng minh rằng ba đường thẳng AC, MN, PQ đồng quy, ta xem xét các tính chất của các điểm và đường thẳng đã cho:

- Gọi H là giao điểm của các đường thẳng PQ.
- Gọi M là giao điểm giữa đường thẳng này với AD, và N là giao điểm trên BC sau khi vẽ đường thẳng MN qua O.

Ta có thể áp dụng định lý Menelaus cho tam giác ACD. Theo đó, nếu MN cắt AC tại H, thì có (AP/PC) * (CN/QD) * (MH/HA) = 1.

Vì tứ giác APQ C và tứ giác CQP cùng nằm trong một hình bình hành, nó sẽ bảo toàn tỉ lệ. Như vậy, ta có thể chắc chắn rằng nếu M, N là những điểm này thì các điểm P, Q, H đều nằm trên ba đường thẳng đó, và đồng quy tại một điểm duy nhất.

Như vậy, thông qua các bước chứng minh, ta đã làm rõ tính chất của các hình và mối quan hệ giữa chúng trong bài toán đã cho.