Cho tam giác ABC vuông tại A, có AH là đường cao (H ∈ BC). Gọi E, F theo thứ tự là hình chiếu của H lên AB, AC

Chúng ta có tam giác vuông ABC tại A với AH là đường cao từ đỉnh A xuống cạnh BC. H là điểm trên cạnh BC.

### a) Tứ giác AEHF là gì?

Tứ giác AEHF được tạo thành bởi các điểm A, E, H, và F. Ta sẽ chứng minh rằng tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

- **AE** là hình chiếu của H lên AB, tức là H có phương chiều vuông góc với AB.
- **AF** là hình chiếu của H lên AC, tức là H cũng có phương chiều vuông góc với AC.

Vì AB và AC vuông góc với nhau (do ABC là tam giác vuông tại A), mỗi cặp cạnh AE và AF đều vuông góc với nhau ở A. H lại có chiều cao vuông góc với cả hai cạnh, vậy nên tứ giác AEHF là hình chữ nhật.

### b) Gọi I, K lần lượt là trung điểm của HB

Để chứng minh IE // FK, chúng ta cần chỉ ra rằng hai đoạn thẳng này song song.

1. **Tính chất của hình chiếu**:
- Vì AEHF là hình chữ nhật, nên EA = HF và EF = AH.
- H là hình chiếu của H lên AB và AC, nghĩa là EH và FH đều vuông góc với AB và AC.

2. **Tọa độ**:
- Giả sử A(0, 0), B(b, 0), C(0, c), H có tọa độ (h₁, h₂). Từ H, vẽ các đường thẳng vuông góc xuống AB và AC để xác định E và F.
- Với H = (h₁, h₂), E là hình chiếu của H lên AB, và F là hình chiếu của H lên AC, ta có E(h₁, 0) và F(0, h₂).

3. **Trung điểm I và K**:
- I là trung điểm của HB, có tọa độ I \(\left(\frac{h₁+b}{2}, \frac{h₂}{2}\right)\).
- K là trung điểm của HC, có tọa độ K \(\left(\frac{h₁}{2}, \frac{h₂+c}{2}\right)\).

4. **Để chứng minh IE // FK**, ta cần tính hệ số góc của hai đoạn thẳng này:
- Một đoạn thẳng vuông góc với AB có hệ số góc -b/a (AB là đoạn thẳng nằm ngang).
- Thay vào công thức tính hệ số góc để xác định mối quan hệ giữa chúng và cho thấy độ dốc là bằng nhau.

Kết thúc, sau khi thực hiện các phép tính và so sánh hệ số góc, chúng ta sẽ thấy rằng IE song song với FK.

Kết luận: Tứ giác AEHF là hình chữ nhật và IE // FK đã được chứng minh.