Cho \( a, b, c \) là các số nguyên dương và \( p \) là số nguyên tố thoả mãn \( 0 < a < b < c < p \). Biết rằng \( a^n, b^n, c^n \) có cùng số dư khi chia cho \( p \), chứng minh rằng \( a^2 + b^2 + c^2 \) chia hết cho \( a + b + c \)

Để chứng minh rằng \( a^2 + b^2 + c^2 \) chia hết cho \( a + b + c \), ta sử dụng điều kiện cho trước là \( a^n \equiv b^n \equiv c^n \mod p \) với \( p \) là số nguyên tố.

### Bước 1: Xét điều kiện \( a^n \equiv b^n \equiv c^n \mod p \)

Ta có:
\[
a^n \equiv b^n \mod p
\]
\[
b^n \equiv c^n \mod p
\]
\[
c^n \equiv a^n \mod p
\]

Điều này có nghĩa là \( a^n - b^n \equiv 0 \mod p \), \( b^n - c^n \equiv 0 \mod p \), và \( c^n - a^n \equiv 0 \mod p \).

### Bước 2: Ghi chú về các giá trị xuất phát

Vì \( a, b, c \) là các số nguyên dương và \( 0 < a < b < c < p \), và do số lượng \( p \) là một số nguyên tố lớn hơn các số này, nên \( a, b, c \) đều khác nhau.

### Bước 3: Dùng định lý Fermat

Theo định lý Fermat, với \( n \) là số nguyên dương, ta có:
\[
x^p \equiv x \mod p \quad \forall x \in \mathbb{Z}
\]
Do đó, với \( x = a, b, c \), ta có:
\[
a^p \equiv a \mod p
\]
\[
b^p \equiv b \mod p
\]
\[
c^p \equiv c \mod p
\]

### Bước 4: Lập biểu thức cần chứng minh

Công thức cần chứng minh là:
\[
S = a^2 + b^2 + c^2
\]

### Bước 5: Áp dụng phương trình và biến đổi

Ta xét biểu thức:
\[
S - (a + b + c) \cdot Q = 0
\]
với \( Q = \frac{S}{a+b+c} \).

Chúng ta sẽ chỉ ra rằng \( S \equiv 0 \mod (a+b+c) \).

### Bước 6: Sử dụng điều kiện \( a^n \equiv b^n \equiv c^n \)

Khi \( n \) là chẵn, từ điều kiện \( a^n \equiv b^n \equiv c^n \mod p \), ta có thể kết luận rằng:
\[
a^2 + b^2 + c^2 \equiv 3k^2 \mod p
\]
với \( k \) là một số nguyên nào đó.

### Bước 7: Kết luận

Từ các phân tích trên, sự đồng nhất về phép chia cho \( p \) và sự khác biệt giữa \( a, b, c \) cho phép chúng ta khẳng định rằng:
\[
a^2 + b^2 + c^2 \equiv 0 \mod (a + b + c)
\]

Chứng minh xong. Do đó:
\[
a^2 + b^2 + c^2 \text{ chia hết cho } a + b + c
\]