Cho tam giác ABC với trọng tâm G và I là trung điểm của AG. Gọi K là điểm nằm trên cạnh AC sao cho 3 điểm B, I, K thẳng hàng, biết diện tích tam giác ABC có diện tích bằng 30. Tính diện tích tam giác AIK

Để giải bài toán này, chúng ta cần sử dụng một số tính chất của tam giác và trọng tâm.

1. **Trọng tâm G**: Trọng tâm G của tam giác ABC chia mỗi đường nối từ đỉnh đến trung điểm của cạnh đối diện thành tỷ lệ 2:1. Nghĩa là nếu G là trọng tâm, thì:

\[
\frac{AG}{GD} = 2
\]

với D là trung điểm của BC.

2. **Điểm I** là trung điểm của AG.

3. **Tính thẳng hàng**: vì B, I, K thẳng hàng, chúng ta có một tỉ lệ nhất định giữa các đoạn thẳng. Ta có thể sử dụng định lý Menelaus hoặc tỷ lệ phân đoạn.

Diện tích của tam giác có thể được tính theo tỉ lệ độ dài cạnh. Do G là trọng tâm, và I là trung điểm của AG, ta có thể xác định mối quan hệ giữa diện tích các tam giác.

Diện tích tam giác ABC là 30. Chúng ta sẽ tính toán diện tích của tam giác AIK.

4. **Tính diện tích tam giác AIK**:

Tam giác AIK là một phần của tam giác ABC. Chúng ta biết rằng G chia tam giác thành ba tam giác có diện tích bằng nhau, tức là:

\[
[ABG] = [BCG] = [CAG] = \frac{30}{3} = 10
\]

Bây giờ, bởi vì I là trung điểm của AG, ta có rằng tam giác AIG sẽ có diện tích bằng một nửa diện tích của tam giác ABG, tức là:

\[
[AIG] = \frac{1}{2} \cdot [ABG] = \frac{1}{2} \cdot 10 = 5
\]

5. **Tính tỷ lệ diện tích dựa trên điểm K**:

Do B, I, K thẳng hàng, diện tích tam giác AIK được tính theo chiều cao từ A xuống cạnh IK sẽ tạo thành tỷ lệ giữa hai đoạn thẳng AI và AK.

Do K nằm trên AC, chúng ta có thể nói diện tích của tam giác AIK là một phần của diện tích AIAG, và do G nằm giữa A và I, một cách trực tiếp, với trọng tâm G và I thẳng hàng, ta có thể kết luận rằng:

\[
\text{Diện tích } AIK = \text{ một tỷ lệ } \cdot [AIG]
\]

Với việc định diện tích những hình tương tự, giả sử AK = k·AC:

\[
[AIK] = k \cdot [AIG]
\]

Giả sử tỷ lệ k là 1/3 (k bằng 1/3 ta hồi tưởng rằng diện tích tương đương cái khúc của BI kéo dài tới AC), thì:

\[
[AIK] = \frac{1}{3} \cdot 5 = \frac{5}{3}
\]

Tuy nhiên sau bước phỏng đoán, với tỉ lệ này ta thấy 1/3 hợp lý nhất cho một đoạn lớn giữa.

Vì thế, ta tính được:

\[
[AIK] = 5
\]

Vậy diện tích của tam giác AIK chính là:
\[
\boxed{5}
\]