Cho đường tròn tâm O, bán kính R, và điểm A nằm ngoài đường tròn. Vẽ các tiếp tuyến AB; AC với đường tròn tâm O và B, C là tiếp điểm. Kẻ đường kính CD của (O)

Để chứng minh \( BD \parallel AO \), chúng ta sẽ xem xét một số tính chất hình học của đường tròn và các tiếp tuyến.

1. **Tính chất của tiếp tuyến**: Tại mỗi điểm tiếp xúc với đường tròn, tiếp tuyến vuông góc với bán kính tại điểm tiếp xúc. Cụ thể, với các tiếp điểm \( B \) và \( C \):
- \( OB \perp AB \) (1)
- \( OC \perp AC \) (2)

2. **Đường kính CD**: Đường kính \( CD \) là một đoạn thẳng nối hai điểm trên đường tròn đi qua tâm \( O \). Vì thế, nó chia đường tròn thành hai nửa bằng nhau.

3. **Góc tại tâm**: Xét tam giác \( OAB \):
- Gọi \( \angle OAB = \alpha \).
- Theo tính chất của là tiếp tuyến, góc tạo bởi đường tiếp tuyến và bán kính tại điểm tiếp xúc bằng góc giữa bán kính và đường nối từ tâm đến điểm ngoài:
- Do đó, \( \angle OAB = \angle OBA \).

4. **Tam giác \( OBD \)**:
- Từ (1), có \( OB \) vuông góc với \( AB \). Do đó, \( \angle OBD = 90^\circ - \alpha \).
- Tương tự, xét tam giác \( ODC \) cho điểm \( C \):
- Tại điểm \( C \), có \( OC \) vuông góc với \( AC \), dẫn đến \( \angle OCD = 90^\circ \).

5. **Góc đồng vị**:
- Từ trên, ta có rằng \( BD \) là một đường thẳng đi qua điểm \( B \) vuông góc với \( OB \), đồng nghĩa với việc góc giữa đường thẳng \( AO \) và đường thẳng \( BD \) sẽ bằng nhau vì cả hai cùng có cùng một góc với bán kính. Như vậy:

\[
\angle OAB = \angle OBD
\]

Nghĩa là

\[
BD \parallel AO
\]

Kết luận: Đã chứng minh được rằng \( BD \parallel AO \).