Để giải bài toán hình học này, chúng ta cần thực hiện các phần theo thứ tự a), b) và c) như đã đề cập.

### a) Chứng minh \( \overline{ax} \perp \overline{bz} \)

Vì \( \overline{ax} \perp \overline{cd} \) và \( \overline{bz} \perp \overline{cd} \), ta có \( \angle axc = 90^\circ \) và \( \angle bzc = 90^\circ \).

Vì \( \overline{ax} \) và \( \overline{bz} \) đều vuông góc với đường thẳng \( \overline{cd} \), và hai đường thẳng vuông góc với cùng một đường thẳng thì sẽ song song với nhau. Do đó, ta có:
\[ \overline{ax} \parallel \overline{bz} \]
Từ đó, suy ra:
\[ \overline{ax} \perp \overline{bz} \].

### b) Tính \( \angle HML \)

Ta đã biết rằng \( HPN = 80^\circ \). Trong tam giác \( HMP \), ta sử dụng tổng ba góc trong một tam giác:

\[
\angle HPX + \angle HMP + \angle PNH = 180^\circ
\]

Khi đó, ta cần phải xác định \( \angle HMP \):

Giả sử góc \( HMP \) là \( x \):
\[
80^\circ + x + (90^\circ - x) = 180^\circ
\]

Giải phương trình này:
\[
80^\circ + 90^\circ = 180^\circ \Rightarrow x = 90^\circ
\]
=> \( \angle HML = 90^\circ \).

### c) Vẽ tia \( H_0 \)

Tia \( H_0 \) là tia phân giác của góc \( MHP \). Vẽ tia \( H_0 \) từ \( H \) và cắt đoạn thẳng \( NP \) tại điểm \( K \).

Để chứng minh:

Tia \( H_0 \) chia góc \( \angle MHP \) thành hai góc bằng nhau, tức là:
\[
\angle MHP = \angle MHK = \angle KHP
\]

Kết luận góc:
\[
\angle HKN = 130^\circ
\]

Tổng hợp các thông tin trên lại, ta có thể hoàn thành bài toán hình học đã đề ra.