Để chứng minh tam giác ABC đều, ta có thể bắt đầu với điều kiện đã cho:

\[
a^2 + b^2 + c^2 = ab + bc + ca.
\]

Ta có thể biến đổi phương trình này như sau:

\[
a^2 + b^2 + c^2 - ab - ac - bc = 0.
\]

Phương trình này có thể được viết lại thành:

\[
\frac{1}{2} \left( (a-b)^2 + (b-c)^2 + (c-a)^2 \right) = 0.
\]

Dễ nhận thấy rằng tích của 3 số không âm thì chỉ bằng 0 khi mỗi số trong số đó bằng 0. Do đó, ta có:

\[
(a-b)^2 = 0, \quad (b-c)^2 = 0, \quad (c-a)^2 = 0.
\]

Từ đó suy ra:

\[
a - b = 0 \Rightarrow a = b,
\]
\[
b - c = 0 \Rightarrow b = c,
\]
\[
c - a = 0 \Rightarrow c = a.
\]

Do đó, \(a = b = c\), tức là tam giác ABC đều.

Vậy ta đã chứng minh được rằng tam giác ABC đều.