Để giải các bất phương trình và phương trình đã cho, chúng ta cần phân tích từng trường hợp.

### a) \((x - 3)^{2034} + (2y + 10)^{2000} = 0\)

Giá trị của một số mũ chẵn luôn không âm. Do đó, cả hai số hạng \((x - 3)^{2034}\) và \((2y + 10)^{2000}\) phải cùng bằng 0:
- \((x - 3)^{2034} = 0 \Rightarrow x - 3 = 0 \Rightarrow x = 3\)
- \((2y + 10)^{2000} = 0 \Rightarrow 2y + 10 = 0 \Rightarrow 2y = -10 \Rightarrow y = -5\)

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình này là \((x, y) = (3, -5)\).

---

### b) \((x + 1)^{20} + (x - 2y + 13)^{100} = 0\)

Tương tự như trên, các số mũ đều là số chẵn, do đó cả hai số hạng này cũng phải bằng 0:
- \((x + 1)^{20} = 0 \Rightarrow x + 1 = 0 \Rightarrow x = -1\)
- \((x - 2y + 13)^{100} = 0 \Rightarrow x - 2y + 13 = 0 \Rightarrow -1 - 2y + 13 = 0\)

Thay \(x = -1\):
\[
-1 - 2y + 13 = 0 \Rightarrow 12 - 2y = 0 \Rightarrow 2y = 12 \Rightarrow y = 6
\]

Vậy nghiệm duy nhất của phương trình này là \((x, y) = (-1, 6)\).

---

### c) \((x - 2)^{24} + (2y - 14)^{100} \leq 0\)

Cả hai số hạng đều không âm (vì cùng có mũ chẵn), do đó tổng của chúng chỉ có thể nhỏ hơn hoặc bằng 0 khi và chỉ khi:
- \((x - 2)^{24} = 0 \Rightarrow x - 2 = 0 \Rightarrow x = 2\)
- \((2y - 14)^{100} = 0 \Rightarrow 2y - 14 = 0 \Rightarrow 2y = 14 \Rightarrow y = 7\)

Vậy nghiệm của bất phương trình này là \((x, y) = (2, 7)\).

### Tóm lại:

1. a) Nghiệm: \((x, y) = (3, -5)\)
2. b) Nghiệm: \((x, y) = (-1, 6)\)
3. c) Nghiệm: \((x, y) = (2, 7)\)