Để chứng minh rằng \( B = 3 + 3^2 + 3^3 + ... + 3^{120} \) chia hết cho 13, ta có thể sử dụng công thức tổng của một cấp số nhân.

### Bước 1: Tính tổng
Sử dụng công thức tổng cấp số nhân:

\[
S_n = a \frac{r^n - 1}{r - 1}
\]

Trong đó:
- \( a = 3 \) (số hạng đầu)
- \( r = 3 \) (công bội)
- \( n = 120 \) (số hạng cuối là \( 3^{120} \))

Áp dụng vào:

\[
B = 3 \left( \frac{3^{120} - 1}{3 - 1} \right) = 3 \left( \frac{3^{120} - 1}{2} \right) = \frac{3^{121} - 3}{2}
\]

### Bước 2: Chứng minh chia hết cho 13
Ta sẽ chứng minh rằng \( B \equiv 0 \mod 13 \).

**Tính \( 3^{121} \mod 13 \):**

Áp dụng định lý Fermat:
Theo định lý Fermat, nếu \( p \) là số nguyên tố, thì với mọi số nguyên \( a \) không chia hết cho \( p \):

\[
a^{p-1} \equiv 1 \mod p
\]

Với \( a = 3 \) và \( p = 13 \), ta có:

\[
3^{12} \equiv 1 \mod 13
\]

Do đó:

\[
3^{121} = 3^{12 \cdot 10 + 1} \equiv (3^{12})^{10} \cdot 3^1 \equiv 1^{10} \cdot 3 \equiv 3 \mod 13
\]

### Bước 3: Thay vào công thức của B
Thay \( 3^{121} \) vào công thức của \( B \):

\[
B = \frac{3^{121} - 3}{2} \equiv \frac{3 - 3}{2} \equiv \frac{0}{2} \equiv 0 \mod 13
\]

### Kết luận
Vậy \( B \) chia hết cho 13.