Trong mặt phẳng tọa độ cho đường thẳng (d): y = x - 2. Tìm tọa độ giao điểm A và B của (d) với hai trục tọa độ? Tính diện tích tam giác OAB?Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB? Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho độ dài đoạn thẳng OM bằng √10

Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt thực hiện từng yêu cầu.

### a. Tìm tọa độ giao điểm A và B của (d) với hai trục tọa độ.

1. **Giao điểm A với trục Ox (y = 0)**:
\[
0 = x - 2 \implies x = 2.
\]
Vậy, tọa độ A là \( (2, 0) \).

2. **Giao điểm B với trục Oy (x = 0)**:
\[
y = 0 - 2 \implies y = -2.
\]
Vậy, tọa độ B là \( (0, -2) \).

### b. Tính diện tích tam giác OAB.

Tọa độ các điểm O, A, B lần lượt là \( O(0, 0) \), \( A(2, 0) \), \( B(0, -2) \). Diện tích tam giác được tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|.
\]
Áp dụng vào các tọa độ:
\[
S = \frac{1}{2} \times |0(0 - (-2)) + 2((-2) - 0) + 0(0 - 0)| = \frac{1}{2} \times |0 + 2 \cdot (-2) + 0| = \frac{1}{2} \times | -4 | = 2.
\]
Vậy, diện tích tam giác OAB là \( 2 \) đơn vị diện tích.

### c. Tính độ dài đường cao OH của tam giác OAB.

Chiều cao OH của tam giác OAB, với O là điểm (0, 0) và cạnh AB nằm ngang. Ta tìm độ dài đoạn thẳng từ O đến đường thẳng (d):
- Đường thẳng (d) có phương trình: \( y = x - 2 \)
- Công thức đường thẳng chuẩn: \( Ax + By + C = 0 \) tương đương với:
\[
x - y - 2 = 0,
\]
với \( A = 1, B = -1, C = -2 \).

Độ dài từ điểm O(0, 0) đến đường thẳng (d) được tính bằng công thức:
\[
d = \frac{|Ax_0 + By_0 + C|}{\sqrt{A^2 + B^2}} = \frac{|1 \cdot 0 + (-1) \cdot 0 - 2|}{\sqrt{1^2 + (-1)^2}} = \frac{|-2|}{\sqrt{2}} = \frac{2}{\sqrt{2}} = \sqrt{2}.
\]

### d. Tìm tọa độ điểm M thuộc (d) sao cho độ dài đoạn thẳng OM bằng \( \sqrt{10} \).

Gọi tọa độ điểm M là \( (x, x - 2) \) (vì M thuộc đường thẳng (d)). Độ dài OM tính bằng:
\[
OM = \sqrt{x^2 + (x - 2)^2}.
\]
Ta có:
\[
OM = \sqrt{x^2 + (x^2 - 4x + 4)} = \sqrt{2x^2 - 4x + 4}.
\]
Đặt đoạn này bằng \( \sqrt{10} \):
\[
\sqrt{2x^2 - 4x + 4} = \sqrt{10} \implies 2x^2 - 4x + 4 = 10.
\]
Giải phương trình:
\[
2x^2 - 4x - 6 = 0 \implies x^2 - 2x - 3 = 0.
\]
Áp dụng công thức nghiệm:
\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} = \frac{2 \pm \sqrt{(-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3)}}{2 \cdot 1} = \frac{2 \pm \sqrt{4 + 12}}{2} = \frac{2 \pm 4}{2}.
\]
Ta có:
1. \( x_1 = \frac{6}{2} = 3 \),
2. \( x_2 = \frac{-2}{2} = -1 \).

Vậy, tọa độ điểm M sẽ là:
1. Nếu \( x = 3 \): \( M(3, 1) \).
2. Nếu \( x = -1 \): \( M(-1, -3) \).

Tóm lại:
- Tọa độ M có thể là \( (3, 1) \) hoặc \( (-1, -3) \).