Để giải bài toán, ta biết rằng parabol \( P: y = ax^2 + bx + 2 \) cắt trục hoành tại điểm \( A(1; 0) \). Điều này có nghĩa là:

\[
0 = a(1)^2 + b(1) + 2
\]
Từ đó, ta có phương trình:
\[
a + b + 2 = 0 \implies a + b = -2 \tag{1}
\]

Ngoài ra, parabol có trục đối xứng là \( x = \frac{3}{2} \). Trục đối xứng của parabol được tính bằng công thức:
\[
x = -\frac{b}{2a}
\]
Do đó, ta có:
\[
-\frac{b}{2a} = \frac{3}{2}
\]
Nhân cả hai vế với \( -2a \) để loại bỏ mẫu, ta có:
\[
b = -3a \tag{2}
\]

Bây giờ, ta thay \( b \) từ phương trình (2) vào phương trình (1):
\[
a + (-3a) = -2
\]
\[
-2a = -2 \implies a = 1
\]

Thay giá trị \( a \) vào phương trình (2) để tìm \( b \):
\[
b = -3(1) = -3
\]

Cuối cùng, ta tính giá trị của \( a - b \):
\[
a - b = 1 - (-3) = 1 + 3 = 4
\]

Vậy giá trị của \( a - b \) là \( 4 \).