Để giải phương trình \( 2^m + 2021 = |n - 2020| + |n - 2022| \), trước tiên chúng ta sẽ phân tích biểu thức bên phải.

Ta có hai trường hợp cho giá trị của \( n \):

1. **Trường hợp \( n < 2020 \)**:
\[
|n - 2020| + |n - 2022| = (2020 - n) + (2022 - n) = 4042 - 2n
\]
Do đó, phương trình trở thành:
\[
2^m + 2021 = 4042 - 2n
\]
Chuyển đổi lại:
\[
2n = 4042 - 2021 - 2^m
\]
\[
n = \frac{2021 - 2^m}{2}
\]

Do \( n \) là số tự nhiên, nên \( 2021 - 2^m \) phải là số chẵn và \( 2021 - 2^m \geq 0 \), tức là:
\[
2^m \leq 2021, \quad \text{mà } 2021 - 2^m \text{ chẵn.}
\]
Giá trị của \( m \) có thể là từ 0 đến 10 vì \( 2^{11} = 2048 > 2021 \). Ta kiểm tra từng giá trị \( m \):

- \( m = 0: \ 2^0 = 1 \Rightarrow n = \frac{2021 - 1}{2} = 1010 \) (hợp lệ).
- \( m = 1: \ 2^1 = 2 \Rightarrow n = \frac{2021 - 2}{2} = 1009.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 2: \ 2^2 = 4 \Rightarrow n = \frac{2021 - 4}{2} = 1008.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 3: \ 2^3 = 8 \Rightarrow n = \frac{2021 - 8}{2} = 1006.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 4: \ 2^4 = 16 \Rightarrow n = \frac{2021 - 16}{2} = 1002.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 5: \ 2^5 = 32 \Rightarrow n = \frac{2021 - 32}{2} = 994.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 6: \ 2^6 = 64 \Rightarrow n = \frac{2021 - 64}{2} = 978.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 7: \ 2^7 = 128 \Rightarrow n = \frac{2021 - 128}{2} = 946.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 8: \ 2^8 = 256 \Rightarrow n = \frac{2021 - 256}{2} = 882.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 9: \ 2^9 = 512 \Rightarrow n = \frac{2021 - 512}{2} = 754.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 10: \ 2^{10} = 1024 \Rightarrow n = \frac{2021 - 1024}{2} = 498.5 \) (không hợp lệ).

2. **Trường hợp \( 2020 \leq n < 2022 \)**:
- Nếu \( n = 2020 \):
\[
|2020 - 2020| + |2020 - 2022| = 0 + 2 = 2
\]
\[
2^m + 2021 = 2 \Rightarrow 2^m = -2019 \text{ (không hợp lệ)}
\]
- Nếu \( n = 2021 \):
\[
|2021 - 2020| + |2021 - 2022| = 1 + 1 = 2
\]
\[
2^m + 2021 = 2 \Rightarrow 2^m = -2019 \text{ (không hợp lệ)}
\]
- Nếu \( n = 2022 \):
\[
|2022 - 2020| + |2022 - 2022| = 2 + 0 = 2
\]
\[
2^m + 2021 = 2 \Rightarrow 2^m = -2019 \text{ (không hợp lệ)}
\]

3. **Trường hợp \( n \geq 2022 \)**:
\[
|n - 2020| + |n - 2022| = (n - 2020) + (n - 2022) = 2n - 4042
\]
Do đó, phương trình trở thành:
\[
2^m + 2021 = 2n - 4042
\]
Chuyển đổi lại:
\[
2n = 2^m + 2021 + 4042
\]
\[
n = \frac{2^m + 6063}{2}
\]

Do \( n \) là số tự nhiên, nên \( 2^m + 6063 \) phải là số chẵn. Điều này sẽ luôn đúng vì \( 6063 \) là số lẻ và \( 2^m \) là số chẵn.

Do đó, ta chỉ cần tìm các giá trị \( m \) sao cho \( n \) là số tự nhiên.

Tìm các giá trị \( m \) từ 0 đến 10:
- \( m = 0: n = \frac{1 + 6063}{2} = 3032 \) (hợp lệ).
- \( m = 1: n = \frac{2 + 6063}{2} = 3032.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 2: n = \frac{4 + 6063}{2} = 3033.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 3: n = \frac{8 + 6063}{2} = 3035.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 4: n = \frac{16 + 6063}{2} = 3036.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 5: n = \frac{32 + 6063}{2} = 3039 \) (hợp lệ).
- \( m = 6: n = \frac{64 + 6063}{2} = 3043.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 7: n = \frac{128 + 6063}{2} = 3052.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 8: n = \frac{256 + 6063}{2} = 3081.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 9: n = \frac{512 + 6063}{2} = 3283.5 \) (không hợp lệ).
- \( m = 10: n = \frac{1024 + 6063}{2} = 3543.5 \) (không hợp lệ).

Vậy từ tất cả các trường hợp, các cặp \( (m, n) \) thỏa mãn là:
- \( (0, 3032) \)
- \( (5, 3039) \)

Do đó, tất cả các số tự nhiên \( m \) và \( n \) thỏa mãn điều kiện là \( (0, 3032) \) và \( (5, 3039) \).