Để tìm \( x \) thuộc \( \mathbb{Z} \) sao cho \( A = \frac{2x + 4}{3x + 2} \) là một số nguyên, chúng ta cần làm cho mẫu số \( 3x + 2 \) chia hết cho tử số \( 2x + 4 \).

Đầu tiên, ta đặt \( A \) là một số nguyên, tức là:

\[
A = k \quad (k \in \mathbb{Z})
\]

Ta có:

\[
k = \frac{2x + 4}{3x + 2}
\]

Suy ra:

\[
k(3x + 2) = 2x + 4
\]

Sắp xếp lại ta được:

\[
3kx + 2k - 2x - 4 = 0
\]

Nhóm các hệ số của \( x \):

\[
(3k - 2)x + (2k - 4) = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm \( x \) nguyên, điều kiện cần là:

\[
2k - 4 = 0 \quad \text{hoặc} \quad 3k - 2 = 0
\]

1. **Trường hợp 1:** \( 2k - 4 = 0 \)

\[
2k = 4 \implies k = 2
\]

Thay vào phương trình:

\[
(3 \cdot 2 - 2)x + (2 \cdot 2 - 4) = 0 \implies 4x + 0 = 0 \implies x = 0
\]

2. **Trường hợp 2:** \( 3k - 2 = 0 \)

\[
3k = 2 \implies k = \frac{2}{3}
\]

Trường hợp này không cho giá trị \( k \) là nguyên.

Tiếp theo, ta kiểm tra giá trị của \( A \) tại \( x = 0 \):

\[
A = \frac{2 \cdot 0 + 4}{3 \cdot 0 + 2} = \frac{4}{2} = 2 \text{ (là số nguyên)}
\]

Bây giờ, ta xác định thêm các giá trị khác của \( x \) sao cho mẫu số chia hết cho tử số. Ta cần điều kiện:

\[
2x + 4 \equiv 0 \mod (3x + 2)
\]

Áp dụng quy tắc chia lấy dư:

Ta có:

\[
2x + 4 = k(3x + 2) \text{ cho một số nguyên } k
\]

Giải điều kiện chia hết, ta sẽ tìm được các giá trị \( x \).

Tóm lại, nghiệm tìm được là:

\[
\boxed{0}
\]

Ngoài ra, cần kiểm tra xem có giá trị nào thỏa mãn \( k \) là nguyên cho các giá trị khác của \( x \) hay không, nhưng dường như \( x = 0 \) là nghiệm duy nhất trong phạm vi tìm kiếm \( \mathbb{Z} \).