Tìm x thuộc Z để x-1/x+1 là nguyên

Để giải hai bài toán này, chúng ta sẽ phân tích từng bài một.

### Bài 1: Tìm \( x \in \mathbb{Z} \) để \( \frac{x-1}{x+1} \) là số nguyên.

Gọi \( k \) là số nguyên. Ta có phương trình:

\[
\frac{x-1}{x+1} = k
\]

Biến đổi phương trình trên:

\[
x - 1 = k(x + 1)
\]
\[
x - 1 = kx + k
\]
\[
x - kx = k + 1
\]
\[
x(1 - k) = k + 1
\]

Khi \( 1 - k \neq 0 \), ta có:
\[
x = \frac{k + 1}{1 - k}
\]

Để \( x \) là số nguyên, điều kiện là \( 1 - k \) phải chia hết cho \( k + 1 \).

### Xét trường hợp \( k = 1 \):
\[
x = \frac{1 + 1}{1 - 1} \text{ (không xác định)}
\]

### Xét trường hợp \( k \) khác 1:
Chúng ta cần \( 1 - k \) chia hết cho \( k + 1 \), có thể viết:
\[
1 - k = n(k + 1) \text{ với } n \in \mathbb{Z}
\]

Giải khóa tĩnh. Từ đó bạn có thể tìm các giá trị thỏa mãn.

### Bài 2: Tìm \( x \in \mathbb{Z} \) để \( \frac{x^2}{x-1} \) là nguyên.

Gọi \( m \) là số nguyên. Ta có:
\[
\frac{x^2}{x-1} = m
\]

Biến đổi phương trình trên:
\[
x^2 = m(x - 1)
\]
\[
x^2 - mx + m = 0
\]

Để phương trình này có nghiệm nguyên, thì delta phải là một số chính phương:
\[
\Delta = m^2 - 4m
\]

Chúng ta cần tìm các giá trị của \( m \) mà \( \Delta \) là số chính phương, tức là:
\[
m^2 - 4m = k^2 \quad (k \in \mathbb{Z})
\]
\[
m^2 - 4m - k^2 = 0
\]

Dễ dàng thấy rằng \( m \) có thể được xác định bằng cách giải phương trình bậc 2 trên và tìm nghiệm nguyên phù hợp.

### Tổng kết:
Bạn có thể tiếp tục từ đây để giải ra các giá trị cụ thể cho \( x \) trong cả hai bài. Trong bài 1, hãy tìm ra các số nguyên \( k \) thỏa mãn và tương tự cho bài 2.