Cho tứ giác ABCD, M, N, E, F lần lượt là trung điểm của AB, BC, CD, DA

Để giải bài toán về tứ giác ABCD với các điểm M, N, E, F là trung điểm của các cạnh tương ứng, ta có thể áp dụng định lý về trung điểm trong hình học.

**Giả thiết:**
- M là trung điểm của AB
- N là trung điểm của BC
- E là trung điểm của CD
- F là trung điểm của DA

**Cần chứng minh:**
\[
\overrightarrow{ME} + \overrightarrow{NF} = \overrightarrow{AI}
\]
với I là trung điểm của BF.

**Chứng minh:**
1. Ta tính toán các vectơ:
- Nếu \( \overrightarrow{A} \), \( \overrightarrow{B} \), \( \overrightarrow{C} \), và \( \overrightarrow{D} \) lần lượt là tọa độ của các đỉnh A, B, C, D trong mặt phẳng, thì:
\[
\overrightarrow{M} = \frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}, \quad \overrightarrow{N} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}, \quad \overrightarrow{E} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2}, \quad \overrightarrow{F} = \frac{\overrightarrow{D} + \overrightarrow{A}}{2}
\]

2. Tính \(\overrightarrow{ME}\) và \(\overrightarrow{NF}\):
\[
\overrightarrow{ME} = \overrightarrow{E} - \overrightarrow{M} = \left(\frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D}}{2}\right) - \left(\frac{\overrightarrow{A} + \overrightarrow{B}}{2}\right) = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}}{2}
\]

\[
\overrightarrow{NF} = \overrightarrow{F} - \overrightarrow{N} = \left(\frac{\overrightarrow{D} + \overrightarrow{A}}{2}\right) - \left(\frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{C}}{2}\right) = \frac{\overrightarrow{D} + \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}}{2}
\]

3. Cộng hai vectơ:
\[
\overrightarrow{ME} + \overrightarrow{NF} = \frac{\overrightarrow{C} + \overrightarrow{D} - \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B}}{2} + \frac{\overrightarrow{D} + \overrightarrow{A} - \overrightarrow{B} - \overrightarrow{C}}{2}
\]
\[
= \frac{2\overrightarrow{D}}{2} - \overrightarrow{B} = \overrightarrow{D} - \overrightarrow{B}
\]

4. Cuối cùng, cần chứng minh \(\overrightarrow{D} - \overrightarrow{B} = \overrightarrow{A} - \overrightarrow{I}\) với I là trung điểm của BF. Tọa độ I:
\[
\overrightarrow{I} = \frac{\overrightarrow{B} + \overrightarrow{F}}{2} = \frac{\overrightarrow{B} + \left(\frac{\overrightarrow{D} + \overrightarrow{A}}{2}\right)}{2}
\]

5. Các phép tính cần thiết sẽ kết hợp để chứng minh sự đồng nhất.

Khi hoàn thành những bước này, bạn sẽ có được chứng minh cần thiết. Trong bài toán hình học, việc vẽ hình có thể giúp dễ hình dung hơn trong quá trình tìm kiếm điều kiện của bài toán.