Cho a + b + c = 4. Tìm giá trị nhỏ nhất của (a + b)/ abc

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\frac{a+b}{abc}\) với điều kiện \(a + b + c = 4\), ta có thể sử dụng phương pháp thay thế và bất đẳng thức.

Từ điều kiện \(a + b + c = 4\), ta có thể biểu diễn \(c\) bằng \(c = 4 - a - b\). Khi đó, biểu thức cần tìm có dạng:

\[
\frac{a+b}{abc} = \frac{a+b}{ab(4 - a - b)}
\]

Ta đặt \(S = a + b\) và \(P = ab\). Khi đó, ta có

\[
\frac{S}{abc} = \frac{S}{P(4 - S)}
\]

Vì vậy, mục tiêu hiện tại là tối ưu hóa biểu thức \(\frac{S}{P(4 - S)}\).

Áp dụng bất đẳng thức AM-GM, ta có

\[
\frac{S}{2} \geq \sqrt{P} \Rightarrow P \leq \left(\frac{S}{2}\right)^2
\]

Thay vào trong biểu thức, ta có:

\[
abc = ab(4 - a - b) = P(4 - S) \geq \left(\frac{S}{2}\right)^2 (4 - S)
\]

Vì vậy, ta có thể viết lại biểu thức như sau:

\[
\frac{S}{P(4-S)} \geq \frac{S}{\left(\frac{S}{2}\right)^2 (4-S)} = \frac{4S}{S^2(4-S)} = \frac{4}{S(4-S)}
\]

Bây giờ, ta cần tìm giá trị cực tiểu của \(\frac{4}{S(4 - S)}\).

Đặt \( x = S \), ta có:

\[
\frac{4}{x(4-x)}
\]

Tìm cực tiểu của hàm số này bằng cách lấy đạo hàm và xác định điểm cực trị:

\[
h(x) = x(4 - x)
\]

Đạo hàm:

\[
h'(x) = 4 - 2x
\]

Giải phương trình \(h'(x) = 0\):

\[
4 - 2x = 0 \Rightarrow x = 2
\]

Tại \(x = 2\):

\[
h(2) = 2(4-2) = 4
\]

Vì vậy, giá trị lớn nhất của \(S(4 - S)\) là 4, và do đó:

\[
\frac{4}{S(4 - S)} \geq \frac{4}{4} = 1
\]

Và để đạt được giá trị này, ta có thể đặt \(a = b = 1\) và \(c = 2\), thì ta có \(a + b + c = 4\).

Tóm lại, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \(\frac{a+b}{abc}\) là:

\[
\boxed{1}
\]