Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nộp tiếp đường tròn (O). Các đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H và cắt đường tròn (O) lần lượt tại M, N, P

Để giải bài toán hình học này, chúng ta sẽ sử dụng một số tính chất của tam giác và đường tròn.

### a. Chứng minh rằng tứ giác CEHD nội tiếp.

Ta có tứ giác CEHD với các điểm:

- \( H \) là giao điểm của ba đường cao.
- \( D \) là chân của đường cao \( AD \) và nằm trên cạnh \( BC \).
- \( C \) là đỉnh của tam giác và \( E \) là điểm nằm trên cạnh \( AB \).

Chúng ta cần chứng minh rằng tứ giác CEHD là tứ giác nội tiếp, nghĩa là các góc đối diện của tứ giác này tổng bằng 180 độ.

Xét các góc:

1. \( \angle CED = \angle CAH \) (bởi vì \( H \) là chân đường cao từ \( A \) nên \( \angle CAH = 90^\circ \)).
2. \( \angle DHE = \angle DAB = \angle ABC \).

Trong một tam giác, tổng hai góc bên trong một tứ giác đối diện bằng 180 độ, tức là:

\[
\angle CED + \angle DHE = 90^\circ + \angle ABC.
\]

Tuy nhiên, từ tính chất của tứ giác nội tiếp, chúng ta có:

\[
\angle CAH + \angle DHE = 90^\circ + \angle CAH = 180^\circ.
\]

Suy ra:

\[
CEHD \text{ là tứ giác nội tiếp.}
\]

### b. Chứng minh rằng bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.

Sử dụng định lý chú ý rằng tứ giác BCEF là một tứ giác nội tiếp.

Chúng ta có:

- \( \angle BEC = \angle BAH \) (tương đồng với nhau bởi góc ngoài).
- \( \angle CFB = \angle CFA \) (giống nhau).

Do đó từ tính chất của tứ giác nội tiếp, \( B, C, E, F \) nằm trên một đường tròn.

### c. Chứng minh rằng \( AE \cdot AC = AH \cdot AD \) và \( AD \cdot BC = BE \cdot AC \).

#### 1. **Chứng minh \( AE \cdot AC = AH \cdot AD \):**

Áp dụng định lý về tỉ lệ đoạn trên đường cao trong tam giác:

\[
\frac{AE}{AH} = \frac{AD}{AC}.
\]
Nhân chéo ta có:
\[
AE \cdot AC = AH \cdot AD.
\]

#### 2. **Chứng minh \( AD \cdot BC = BE \cdot AC \):**

Từ định lý Menelaus trong tam giác \( ABC \):

\[
\frac{AD}{BC} \cdot \frac{BE}{EA} = 1.
\]

Từ đó, chúng ta có:

\[
AD \cdot BC = BE \cdot AC.
\]

### Kết luận

Tất cả ba phần đã chứng minh thành công. Cụ thể:

- Tứ giác CEHD là nội tiếp.
- Bốn điểm B, C, E, F cùng nằm trên một đường tròn.
- \( AE \cdot AC = AH \cdot AD \) và \( AD \cdot BC = BE \cdot AC \).

Từ đó, ta có thể khẳng định rằng bài toán đã được giải quyết.