Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 75 và ước chung lớn nhất bằng 5

Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng kiến thức về ước chung lớn nhất (UCLN) và tích của hai số tự nhiên.

### Bài 1:

#### a) Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 75 và ước chung lớn nhất bằng 5.

Gọi hai số cần tìm là \( x \) và \( y \). Ta có:
- \( x \cdot y = 75 \)
- \( \text{UCLN}(x, y) = 5 \)

Từ \( \text{UCLN}(x, y) = 5 \), ta có thể viết:
- \( x = 5m \)
- \( y = 5n \)
Với \( \text{UCLN}(m, n) = 1 \).

Thay vào phương trình tích:
\[
5m \cdot 5n = 75 \implies 25mn = 75 \implies mn = 3
\]

Các cặp \( (m, n) \) với tích bằng 3 và \( \text{UCLN}(m, n) = 1 \) là:
- \( (1, 3) \)
- \( (3, 1) \)

Do đó, ta có:
- Từ \( (m, n) = (1, 3) \): \( (x, y) = (5 \cdot 1, 5 \cdot 3) = (5, 15) \)
- Từ \( (m, n) = (3, 1) \): \( (x, y) = (5 \cdot 3, 5 \cdot 1) = (15, 5) \)

**Kết luận:** Hai số cần tìm là \( (5, 15) \) hoặc \( (15, 5) \).

#### b) Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 432 và ước chung lớn nhất bằng 6.

Gọi hai số là \( x \) và \( y \). Ta có:
- \( x \cdot y = 432 \)
- \( \text{UCLN}(x, y) = 6 \)

Tương tự như trên, ta có thể viết:
- \( x = 6m \)
- \( y = 6n \)
Với \( \text{UCLN}(m, n) = 1 \).

Thay vào phương trình tích:
\[
6m \cdot 6n = 432 \implies 36mn = 432 \implies mn = 12
\]

Các cặp \( (m, n) \) với tích bằng 12 và \( \text{UCLN}(m, n) = 1 \) là:
- \( (1, 12) \)
- \( (3, 4) \)

Do đó, ta có:
- Từ \( (m, n) = (1, 12) \): \( (x, y) = (6 \cdot 1, 6 \cdot 12) = (6, 72) \)
- Từ \( (m, n) = (12, 1) \): \( (x, y) = (6 \cdot 12, 6 \cdot 1) = (72, 6) \)
- Từ \( (m, n) = (3, 4) \): \( (x, y) = (6 \cdot 3, 6 \cdot 4) = (18, 24) \)
- Từ \( (m, n) = (4, 3) \): \( (x, y) = (6 \cdot 4, 6 \cdot 3) = (24, 18) \)

**Kết luận:** Hai số cần tìm là \( (6, 72), (72, 6), (18, 24), (24, 18) \).

#### c) Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 864 và ước chung của chúng bằng 6.

Gọi hai số là \( x \) và \( y \). Ta có:
- \( x \cdot y = 864 \)
- \( \text{UCLN}(x, y) = 6 \)

Tương tự như trên, ta có:
- \( x = 6m \)
- \( y = 6n \)
Với \( \text{UCLN}(m, n) = 1 \).

Thay vào phương trình tích:
\[
6m \cdot 6n = 864 \implies 36mn = 864 \implies mn = 24
\]

Các cặp \( (m, n) \) với tích bằng 24 và \( \text{UCLN}(m, n) = 1 \) là:
- \( (1, 24) \)
- \( (3, 8) \)

Do đó, ta có:
- Từ \( (m, n) = (1, 24) \): \( (x, y) = (6 \cdot 1, 6 \cdot 24) = (6, 144) \)
- Từ \( (m, n) = (24, 1) \): \( (x, y) = (6 \cdot 24, 6 \cdot 1) = (144, 6) \)
- Từ \( (m, n) = (3, 8) \): \( (x, y) = (6 \cdot 3, 6 \cdot 8) = (18, 48) \)
- Từ \( (m, n) = (8, 3) \): \( (x, y) = (6 \cdot 8, 6 \cdot 3) = (48, 18) \)

**Kết luận:** Hai số cần tìm là \( (6, 144), (144, 6), (18, 48), (48, 18) \).

### Bài 2: Tìm \( a, b \) thuộc \( N^* \) biết \( a + b = 144 \) và \( \text{UCLN}(a, b) = 48 \).

Gọi \( a \) và \( b \) là hai số cần tìm. Ta có:
- \( a + b = 144 \)
- \( \text{UCLN}(a, b) = 48 \)

Từ \( \text{UCLN}(a, b) = 48 \), ta có thể viết:
- \( a = 48m \)
- \( b = 48n \)
Với \( \text{UCLN}(m, n) = 1 \).

Thay vào phương trình tổng:
\[
48m + 48n = 144 \implies m + n = 3
\]

Các cặp \( (m, n) \) với tổng bằng 3 và \( \text{UCLN}(m, n) = 1 \) là:
- \( (1, 2) \)
- \( (2, 1) \)

Do đó, ta có:
- Từ \( (m, n) = (1, 2) \): \( (a, b) = (48 \cdot 1, 48 \cdot 2) = (48, 96) \)
- Từ \( (m, n) = (2, 1) \): \( (a, b) = (48 \cdot 2, 48 \cdot 1) = (96, 48) \)

**Kết luận:** Các cặp \( (a, b) \) là \( (48, 96) \) và \( (96, 48) \).