Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 75 và ước chung lớn nhất bằng 5

Để giải các bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của ước chung lớn nhất (ƯCLN) và bội chung nhỏ nhất (BCNN).

### Bài 1:
#### a) Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 75 và ước chung lớn nhất bằng 5.
Gọi hai số cần tìm là \( x \) và \( y \).
Theo đề bài, ta có:
- \( x \cdot y = 75 \)
- \( \text{GCD}(x, y) = 5 \)

Ta có thể viết \( x \) và \( y \) dưới dạng:
- \( x = 5m \)
- \( y = 5n \)

Với \( m \) và \( n \) là hai số tự nhiên sao cho:
- \( m \cdot n = \frac{75}{5^2} = 3 \) (vì \( 5^2 = 25 \))

Các cặp \( (m, n) \) có tích bằng 3 là:
- \( (1, 3) \)
- \( (3, 1) \)

Suy ra các cặp \( (x, y) \):
- \( (5 \cdot 1, 5 \cdot 3) = (5, 15) \)
- \( (5 \cdot 3, 5 \cdot 1) = (15, 5) \)

Vậy, hai số cần tìm là \( 5 \) và \( 15 \).

#### b) Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 432 và ước chung lớn nhất bằng 6.
Theo phương pháp tương tự, gọi \( x = 6m \) và \( y = 6n \):
- \( x \cdot y = 432 \)
- \( \Rightarrow (6m)(6n) = 432 \)
- \( \Rightarrow 36mn = 432 \)
- \( \Rightarrow mn = \frac{432}{36} = 12 \)

Các cặp \( (m, n) \) có tích bằng 12 là:
- \( (1, 12), (2, 6), (3, 4), (4, 3), (6, 2), (12, 1) \)

Suy ra các cặp \( (x, y) \):
- \( (6 \cdot 1, 6 \cdot 12) = (6, 72) \)
- \( (6 \cdot 12, 6 \cdot 1) = (72, 6) \)
- \( (6 \cdot 2, 6 \cdot 6) = (12, 36) \)
- \( (6 \cdot 6, 6 \cdot 2) = (36, 12) \)
- \( (6 \cdot 3, 6 \cdot 4) = (18, 24) \)
- \( (6 \cdot 4, 6 \cdot 3) = (24, 18) \)

Vậy các cặp số tự nhiên cần tìm là:
- \( (6, 72), (72, 6), (12, 36), (36, 12), (18, 24), (24, 18) \)

#### c) Tìm hai số tự nhiên biết tích của chúng bằng 864 và ước chung của chúng bằng 6.
Gọi \( x = 6m \) và \( y = 6n \):
- \( x \cdot y = 864 \)
- \( \Rightarrow (6m)(6n) = 864 \)
- \( \Rightarrow 36mn = 864 \)
- \( \Rightarrow mn = \frac{864}{36} = 24 \)

Các cặp \( (m, n) \) có tích bằng 24 là:
- \( (1, 24), (2, 12), (3, 8), (4, 6), (6, 4), (8, 3), (12, 2), (24, 1) \)

Suy ra các cặp \( (x, y) \):
- \( (6 \cdot 1, 6 \cdot 24) = (6, 144) \)
- \( (6 \cdot 24, 6 \cdot 1) = (144, 6) \)
- \( (6 \cdot 2, 6 \cdot 12) = (12, 72) \)
- \( (6 \cdot 12, 6 \cdot 2) = (72, 12) \)
- \( (6 \cdot 3, 6 \cdot 8) = (18, 48) \)
- \( (6 \cdot 8, 6 \cdot 3) = (48, 18) \)
- \( (6 \cdot 4, 6 \cdot 6) = (24, 36) \)
- \( (6 \cdot 6, 6 \cdot 4) = (36, 24) \)

Vậy các cặp số tự nhiên cần tìm là:
- \( (6, 144), (144, 6), (12, 72), (72, 12), (18, 48), (48, 18), (24, 36), (36, 24) \)

### Bài 2:
Tìm \( a, b \in \mathbb{N}^* \) sao cho \( a + b = 144 \) và \( \text{GCD}(a, b) = 48 \).

Gọi \( a = 48m \) và \( b = 48n \):
- \( a + b = 48m + 48n = 144 \)
- \( \Rightarrow 48(m + n) = 144 \)
- \( \Rightarrow m + n = 3 \)

Vì \( \text{GCD}(a, b) = 48 \), \( m \) và \( n \) là hai số nguyên dương và \( \text{GCD}(m, n) = 1 \).

Các cặp \( (m, n) \) sao cho \( m + n = 3 \) là:
- \( (1, 2) \)
- \( (2, 1) \)

Suy ra các cặp \( (a, b) \):
- Nếu \( (m, n) = (1, 2) \) thì \( (a, b) = (48 \cdot 1, 48 \cdot 2) = (48, 96) \)
- Nếu \( (m, n) = (2, 1) \) thì \( (a, b) = (48 \cdot 2, 48 \cdot 1) = (96, 48) \)

Vậy cặp số cần tìm là \( (48, 96) \) hoặc \( (96, 48) \).