Để phân tích hàm số \( y = x^2 + 2x + 3 \), ta làm theo các bước sau:

1. **Tìm tọa độ đỉnh:**
Hàm số có dạng \( y = ax^2 + bx + c \) với \( a = 1, b = 2, c = 3 \). Tọa độ đỉnh được tính bằng công thức:
\[
x_{đ} = -\frac{b}{2a} = -\frac{2}{2 \cdot 1} = -1
\]
Thay \( x_{đ} \) vào hàm để tìm \( y_{đ} \):
\[
y_{đ} = (-1)^2 + 2(-1) + 3 = 1 - 2 + 3 = 2
\]
Vậy tọa độ đỉnh là \( (-1; 2) \).

2. **Trục đối xứng:**
Trục đối xứng của hàm bậc hai là \( x = -1 \).

3. **Tập xác định \( D \):**
Hàm bậc hai xác định trên toàn bộ tập hợp các số thực \( D = \mathbb{R} \) (tức là \( (-\infty; +\infty) \)).

4. **Hàm số nghịch biến và đồng biến:**
- Đạo hàm hàm số là \( y' = 2x + 2 \).
- Giải phương trình \( 2x + 2 = 0 \) để tìm cực trị:
\[
x = -1
\]
- Hàm số sẽ nghịch biến trên khoảng \( (-\infty; -1) \) và đồng biến trên khoảng \( (-1; +\infty) \).

So sánh các phát biểu:
- A. Đúng: Tọa độ đỉnh là \( (-1; 2) \).
- B. Đúng: Trục đối xứng là \( x = -1 \).
- C. Sai: Tập xác định là \( D = \mathbb{R} \), không có dấu hiệu nào.
- D. Đúng: Nghịch biến trên khoảng \( (-\infty; -1) \) và đồng biến trên khoảng \( (-1; +\infty) \).

Vậy phát biểu sai là **C.**