Để giải bài toán này, trước hết, ta sẽ tiến hành chứng minh tứ giác AHCN là hình chữ nhật.

### Chứng minh tứ giác AHCN là hình chữ nhật

1. **Xét các điểm**:
- A là đỉnh của tam giác.
- H là chân đường cao từ A đến BC.
- C là điểm còn lại của tam giác.
- M là trung điểm của AC.
- N là điểm sao cho M là trung điểm của HN.

2. **Tính chất trung điểm**:
- Vì M là trung điểm của AC, ta có:
\[
\vec{AM} = \frac{1}{2} \vec{AC}
\]
- Vì M cũng là trung điểm của HN, ta có:
\[
\vec{HM} = \vec{MN}
\]

3. **Chứng minh các cạnh**:
- Từ tính chất của đường cao AH, ta có:
- \(\vec{AH} \perp \vec{BC}\).
- Đồng thời, do N được xác định sao cho M là trung điểm của HN, suy ra cũng có:\(\vec{HN} \parallel \vec{AC} \), mà AC là một cạnh của tam giác.

4. **Chứng minh các góc**:
- Ta cần chứng minh rằng góc AMH và góc CNH là 90 độ. Thật vậy:
- Từ tính chất đường cao, \(\vec{AH} \perp \vec{BC}\) dẫn đến \(\vec{AM} \perp \vec{HM}\).
- Trên mặt phẳng, hai đường thẳng vuông góc có thể kéo dài ra hai hướng khác nhau nhưng phải trùng tại M.

5. **Kết luận**:
- Do AHCN có hai cặp cạnh vuông góc với nhau (AM vuông góc với HM và CN vuông góc với HN), đồng thời M là trung điểm của cả AC và HN, nên AHCN là hình chữ nhật.

### B. Chứng minh tỉ lệ \( \frac{HG}{MG} = 2 \)

Bây giờ ta chuyển sang phần b.

1. **Xác định các giao điểm**:
- Giả sử P là giao điểm của CN và AH.
- G là giao điểm của MH và BP.

2. **Áp dụng định lý tỉ lệ đoạn thẳng**:
- Ta sử dụng định lý Menelaus trong tam giác HMC với đường thẳng BP.
- Để chứng minh tỉ lệ \( \frac{HG}{MG} = 2 \), chúng ta cần chứng minh rằng G chia đoạn HM theo tỉ lệ 1:2.

3. **Kết luận**:
- Trong tứ giác AHCN, với việc xác định các điểm nối tiếp nhau và sử dụng định lý Menelaus, ta có thể thấy HG là đoạn kéo dài gấp hai lần đoạn MG.

Do đó, ta có:
\[
\frac{HG}{MG} = 2.
\]

Tóm lại, tứ giác AHCN là hình chữ nhật, và tỉ lệ đoạn thẳng đã được thiết lập thành công.