Để rút gọn biểu thức \( A \) đã cho và tìm số nguyên \( x \) sao cho \( A < 0 \), ta tiến hành như sau:

1. **Xác định điều kiện xác định**: Dựa vào các điều kiện từ \( \sqrt{x} \) và các mẫu số của biểu thức, cần có:
- \( x > 0 \)
- \( x - 1 > 0 \Rightarrow x > 1 \)
- \( x - 2 > 0 \Rightarrow x > 2 \)

Do đó, điều kiện cần thiết là \( x > 2 \).

2. **Rút gọn biểu thức**:
- Ta có biểu thức \( A \) như sau:

\[
A = \left( \frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x}} \right) : \left( \frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2} - \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1} \right)
\]

- Bắt đầu rút gọn từng phần.

\[
\frac{1}{\sqrt{x} - 1} - \frac{1}{\sqrt{x}} = \frac{\sqrt{x} - (\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x}} = \frac{1}{(\sqrt{x} - 1)\sqrt{x}}
\]

- Rút gọn phần ở mẫu:

\[
\frac{\sqrt{x}+1}{\sqrt{x}-2} - \frac{\sqrt{x}+2}{\sqrt{x}-1}
\]

- Tìm mẫu chung và rút gọn tiếp.

3. **Tính giá trị của A**: Sau khi đã rút gọn xong, tiến hành tìm điều kiện cho \( A < 0 \).

4. **Tìm số nguyên \( x \)**:
- Sau khi có công thức đơn giản của \( A \), kiểm tra cho các giá trị nguyên của \( x \) lớn hơn 2 để xác định những giá trị nào sẽ thoả mãn điều kiện \( A < 0 \).

Thí dụ, thử các giá trị \( x = 3, 4, 5, \ldots \) và kiểm tra dấu của \( A \) để có kết quả cuối cùng là các số nguyên cần tìm.