Chứng minh \( 3(a^2 + b^2 + c^2) + 4 \geq 4(a + b + c) \) với mọi \( a, b, c \in \mathbb{R} \)

Để chứng minh bất đẳng thức

\[
3(a^2 + b^2 + c^2) + 4 \geq 4(a + b + c)
\]

với mọi \(a, b, c \in \mathbb{R}\), ta bắt đầu bằng cách sắp xếp lại bất đẳng thức này:

\[
3(a^2 + b^2 + c^2) - 4(a + b + c) + 4 \geq 0.
\]

Đặt \(S = a + b + c\) và \(Q = a^2 + b^2 + c^2\). Ta có:

\[
3Q - 4S + 4 \geq 0.
\]

Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz, ta có:

\[
(a^2 + b^2 + c^2)(1 + 1 + 1) \geq (a + b + c)^2,
\]

hay

\[
3(a^2 + b^2 + c^2) \geq (a + b + c)^2.
\]

Từ đó, ta có:

\[
3Q \geq S^2.
\]

Thay vào bất đẳng thức ban đầu, ta có:

\[
3Q - 4S + 4 \geq S^2 - 4S + 4.
\]

Tính biểu thức \(S^2 - 4S + 4\):

\[
S^2 - 4S + 4 = (S - 2)^2.
\]

Do đó, ta có:

\[
3Q - 4S + 4 \geq (S - 2)^2.
\]

Vì bình phương luôn không âm, tức là \((S - 2)^2 \geq 0\), nên ta luôn có:

\[
3Q - 4S + 4 \geq 0.
\]

Do đó, bất đẳng thức ban đầu được chứng minh:

\[
3(a^2 + b^2 + c^2) + 4 \geq 4(a + b + c).
\]