Để tìm diện tích tam giác OAB do đồ thị của hàm số \( y = \frac{x-1}{x+1} \) cắt các trục tọa độ tại A và B, ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. **Tìm điểm A (cắt trục Ox)**:
- Ta đặt \( y = 0 \):
\[
0 = \frac{x-1}{x+1} \implies x - 1 = 0 \implies x = 1
\]
- Vậy điểm A có tọa độ \( A(1, 0) \).

2. **Tìm điểm B (cắt trục Oy)**:
- Ta đặt \( x = 0 \):
\[
y = \frac{0-1}{0+1} = -1
\]
- Vậy điểm B có tọa độ \( B(0, -1) \).

3. **Tính diện tích tam giác OAB**:
- Các điểm O, A và B có tọa độ là:
- O(0, 0)
- A(1, 0)
- B(0, -1)

- Diện tích tam giác OAB có thể tính bằng công thức:
\[
S = \frac{1}{2} \times |x_1(y_2 - y_3) + x_2(y_3 - y_1) + x_3(y_1 - y_2)|
\]
- Thay tọa độ vào công thức, ta có:
\[
S = \frac{1}{2} \times |0(0 - (-1)) + 1((-1) - 0) + 0(0 - 0)|
\]
- Tính toán:
\[
S = \frac{1}{2} \times |0 + 1 \cdot (-1) + 0| = \frac{1}{2} \times |-1| = \frac{1}{2}
\]

Vậy diện tích của tam giác OAB là \( \frac{1}{2} \).

**Đáp án đúng là D: \( \frac{1}{2} \)**.