Để giải hệ phương trình

\[
\begin{cases}
x + 2 + \frac{2}{\sqrt{y - 3}} = 9 \\
2x + 4 - \frac{1}{\sqrt{y - 3}} = 8
\end{cases}
\]

ta thực hiện các bước sau:

1. **Giải phương trình đầu tiên**:
\[
x + 2 + \frac{2}{\sqrt{y - 3}} = 9
\]
=>
\[
\frac{2}{\sqrt{y - 3}} = 7 - x
\]
=>
\[
\sqrt{y - 3} = \frac{2}{7 - x} \quad (1)
\]

2. **Giải phương trình thứ hai**:
\[
2x + 4 - \frac{1}{\sqrt{y - 3}} = 8
\]
=>
\[
-\frac{1}{\sqrt{y - 3}} = 4 - 2x
\]
=>
\[
\frac{1}{\sqrt{y - 3}} = 2x - 4 \quad (2)
\]

3. **Lấy biểu thức \(\sqrt{y - 3}\) từ (1) và thay vào (2)**:
Từ (1) ta có:
\[
\sqrt{y - 3} = \frac{2}{7 - x} \implies \frac{1}{\sqrt{y - 3}} = \frac{7 - x}{2}
\]

Thay vào (2):
\[
\frac{7 - x}{2} = 2x - 4
\]

4. **Giải phương trình trên**:
Nhân cả hai vế với 2:
\[
7 - x = 4x - 8
\]
=>
\[
7 + 8 = 4x + x \implies 15 = 5x \implies x = 3
\]

5. **Tìm giá trị y**:
Thay \(x = 3\) vào (1):
\[
\sqrt{y - 3} = \frac{2}{7 - 3} = \frac{2}{4} = \frac{1}{2}
\]
=>
\[
y - 3 = \left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}
\]
=>
\[
y = 3 + \frac{1}{4} = \frac{13}{4}
\]

6. **Kết quả**:
\[
(x, y) = \left(3, \frac{13}{4}\right)
\]

Kết quả cuối cùng là \((x, y) = \left(3, \frac{13}{4}\right)\).