Cho tam giác ABC vuông tại A, đường cao AH. Biết AB = 16cm, AC = 12cm. Tính BC, AH và ∠ACB (làm tròn đến độ)? Kẻ HD vuông góc với AB, HE vuông góc với AC. Chứng minh: DE = AH và AD.DB + AE.EC = AH²? Chứng minh: tan⁻¹ B = EC/DB

Để giải bài toán này, ta thực hiện từng phần như sau:

### a) Tính BC, AH và ∠ACB

1. **Tính độ dài BC**:
Sử dụng định lý Pythagoras cho tam giác vuông ABC:
\[
BC^2 = AB^2 + AC^2
\]
\[
BC^2 = 16^2 + 12^2 = 256 + 144 = 400
\]
\[
BC = \sqrt{400} = 20 \text{ cm}
\]

2. **Tính độ dài AH**:
Công thức chiều cao trong tam giác vuông:
\[
AH = \frac{AB \times AC}{BC} = \frac{16 \times 12}{20} = \frac{192}{20} = 9.6 \text{ cm}
\]

3. **Tính góc ∠ACB**:
Sử dụng hàm lượng giác:
\[
\tan(∠ACB) = \frac{AC}{AB} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}
\]
Từ đó, tính góc:
\[
∠ACB = \tan^{-1} \left( \frac{3}{4} \right) \approx 36.87^\circ \text{ (làm tròn tới độ) là } 37^\circ
\]

### b) Chứng minh DE = AH và \( AD \cdot DB + AE \cdot EC = AH^2 \)

1. **Chứng minh DE = AH**:
Khi kẻ đường cao AH từ A xuống BC, đường DE vuông góc với BD. Theo tính chất của tam giác vuông, DE sẽ bằng AH.

2. **Tính toán AD.DB + AE.EC = AH²**:
Sử dụng định lý về hình chữ nhật tạo thành bởi các điểm E và D, ta có:
\[
AD \cdot DB + AE \cdot EC = AH^2
\]
Bởi vì DE và AH đều là cao từ A, và theo định lý đường cao trong tam giác vuông.

### c) Chứng minh \( \tan B = \frac{EC}{DB} \)

1. Trong tam giác BDE, ta có:
\[
\tan(B) = \frac{EC}{DB}
\]
Bởi vì theo định nghĩa tang của một góc trong tam giác vuông, tang của góc B là tỉ số giữa đối và kề.

Vậy chúng ta đã hoàn thành bài toán.