Cho tam giác ABC vuông tại A, đường trung tuyến AM. Kẻ MD vuông góc với AB (D thuộc AB), ME vuông góc với AC (E thuộc AC)

Để chứng minh tứ giác ADME là hình bình hành trong tam giác ABC vuông tại A với AM là trung tuyến, MD vuông góc với AB và ME vuông góc với AC, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

1. **Kí hiệu và tính toán:**
- Gọi \( A \) là điểm vuông góc, \( B \) và \( C \) là hai đỉnh còn lại của tam giác vuông tại \( A \).
- Gọi \( D \) là điểm trên cạnh \( AB \) sao cho \( MD \perp AB \).
- Gọi \( E \) là điểm trên cạnh \( AC \) sao cho \( ME \perp AC \).

2. **Chứng minh các cạnh đối diện trong tứ giác ADME song song:**
- Vì \( AM \) là trung tuyến, nên \( AM = MB \).
- Ta biết rằng \( MD \perp AB \) và \( ME \perp AC \) có nghĩa là \( MD \) và \( ME \) cùng rơi vào các chiều vô hướng tương ứng với các cạnh của tam giác.
- Từ đó suy ra, \( MD \parallel ME \).

3. **Chứng minh các cạnh AD và ME đều bằng nhau (Đối diện):**
- Suy từ định nghĩa của đường trung tuyến, ta có: \( AD = AE \) vì chúng đều là khoảng cách từ điểm A tới các điểm dọc theo nền tảng từ MD và ME trong tứ giác.
- Do đó, với \( MD \parallel ME \) và \( AD = AE \) thì có thể xác lập rằng các cạnh đối diện trong tứ giác ADME tương ứng là song song và bằng nhau.

Từ hai điều đã chứng minh trên, có thể kết luận rằng tứ giác ADME có các cạnh đối diện song song và bằng nhau. Theo tính chất của tứ giác, tứ giác này là một hình bình hành.

**Kết luận:** Ta đã chứng minh được tứ giác ADME là hình bình hành.