Để tìm giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) nhận giá trị nguyên, ta có biểu thức:

\[
A = \frac{x + 3}{x} = 1 + \frac{3}{x}
\]

Để \( A \) là số nguyên, phần \(\frac{3}{x}\) cũng phải là số nguyên. Điều này có nghĩa là \( x \) phải là một ước của 3.

Cac ước của 3 là: \( \pm 1, \pm 3 \). Tuy nhiên, \( x \) không được bằng 0.

Vậy ta có các giá trị nguyên của \( x \):

1. \( x = 1 \)
2. \( x = -1 \)
3. \( x = 3 \)
4. \( x = -3 \)

Tiếp theo, ta kiểm tra từng giá trị để xem \( A \) có phải là số nguyên không:

- **Khi \( x = 1 \)**:
\[
A = 1 + \frac{3}{1} = 4 \quad (số nguyên)
\]

- **Khi \( x = -1 \)**:
\[
A = 1 + \frac{3}{-1} = -2 \quad (số nguyên)
\]

- **Khi \( x = 3 \)**:
\[
A = 1 + \frac{3}{3} = 2 \quad (số nguyên)
\]

- **Khi \( x = -3 \)**:
\[
A = 1 + \frac{3}{-3} = 0 \quad (số nguyên)
\]

Vậy các giá trị nguyên của \( x \) để \( A \) nhận giá trị nguyên là:

\[
x = 1, -1, 3, -3
\]