Để tìm số tự nhiên \( n \) cho từng biểu thức, ta cần phân tích điều kiện cho mỗi trường hợp.

a) Xét tỷ lệ \( 3:n \):

Để tỷ lệ này là số nguyên, \( n \) phải là 1, 3, 6, 9, v.v. (các bội số của 3). Do đó, \( n \) có thể là \( 1, 3, 6 \) ...

b) Xét tỷ lệ \( 3:(n+1) \):

Cũng giống như trường hợp trước, \( n+1 \) phải là 1, 3, 6, 9, ... Vậy \( n \) có thể là \( 0, 2, 5, 8, \ldots\)

c) Xét tỷ lệ \( (n+3):(n+1) \):

Để tỷ lệ này là số nguyên, \( n+3 \) phải chia hết cho \( n+1 \). Có thể giảm điều này về tỷ lệ \( \frac{n+3}{n+1} = 1 + \frac{2}{n+1} \). Vậy điều kiện là \( n+1 \) phải chia hết cho 2, dẫn tới \( n \) là số chẵn (0, 2, 4, 6, ...).

d) Xét tỷ lệ \( (2n+3):(n-2) \):

Tương tự, ta có \( \frac{2n+3}{n-2} \) cần là số nguyên. Để tính điều này, cần đảm bảo \( n-2 \) chia hết cho \( 2n+3 \). Giải phương trình này sẽ cho ra các giá trị cụ thể cho \( n \).

Như vậy, kết quả là:

- a) \( n = 1, 3, 6, ...\)
- b) \( n = 0, 2, 5, ... \)
- c) \( n \) chẵn
- d) Giải phương trình sẽ có giá trị cụ thể cho \( n \).