Tính các tích đường cong

Để tính tích đường cong \( \int_C \left( \cos y \, dx - \sin x \, dy \right) \) với đường cong \( C \) được xác định bởi các tham số \( x = t, y = \frac{\pi}{4} - | \frac{\pi}{4} - t | \) trong khoảng \( -\frac{\pi}{4} \leq t \leq \frac{\pi}{2} \), chúng ta bắt đầu bằng cách xác định hàm số \( y \).

### Bước 1: Xác định hàm \( y \)

Hàm \( y \) phụ thuộc vào giá trị của \( t \):
- Khi \( t \leq \frac{\pi}{4} \): \( y = \frac{\pi}{4} - \left( \frac{\pi}{4} - t \right) = t \)
- Khi \( t > \frac{\pi}{4} \): \( y = \frac{\pi}{4} - \left( t - \frac{\pi}{4} \right) = \frac{\pi}{2} - t \)

### Bước 2: Tính \( dx \) và \( dy \)

- \( dx = dt \)
- \( dy =
\begin{cases}
dt & \text{nếu } t \leq \frac{\pi}{4} \\
-dt & \text{nếu } t > \frac{\pi}{4}
\end{cases} \)

### Bước 3: Tính tích phân

Ta chia tích phân thành hai phần từ \( -\frac{\pi}{4} \) đến \( \frac{\pi}{4} \) và từ \( \frac{\pi}{4} \) đến \( \frac{\pi}{2} \).

1. **Từ \( -\frac{\pi}{4} \) đến \( \frac{\pi}{4} \)**:
\[
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} \left( \cos(t) \, dt - \sin(t) \, dt \right) = \int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos(t) - \sin(t)) \, dt
\]

2. **Từ \( \frac{\pi}{4} \) đến \( \frac{\pi}{2} \)**:
\[
\int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \left( \cos\left(\frac{\pi}{2} - t\right) \, dt + \sin(t) \, dt \right) = \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} (\sin(t) + \sin(t)) \, dt = 2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(t) \, dt
\]

### Bước 4: Tính các tích phân

1. **Tính tích phân đầu**:
\[
\int_{-\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{4}} (\cos(t) - \sin(t)) \, dt
\]

2. **Tính tích phân thứ hai**:
\[
2 \int_{\frac{\pi}{4}}^{\frac{\pi}{2}} \sin(t) \, dt
\]

### Bước 5: Kết luận

Cuối cùng, bạn có thể kết hợp các giá trị đã tính để ra kết quả của tích phân đường cong.