Trên các cạnh BC, CD của hình vuông ABCD với AB = 1, ta lấy được các điểm M, N tương ứng sao cho chu vi tam giác MBN bằng 2

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện theo hai phần a) và b).

**a) Chứng minh rằng \( \angle MAN = 45^\circ \)**:

1. **Ký hiệu vị trí của các điểm**:
- Gọi \( A(0, 0), B(1, 0), C(1, 1), D(0, 1) \).
- Điểm \( M \) nằm trên cạnh \( BC \), có thể biểu diễn là \( M(1, m) \) với \( 0 \leq m \leq 1 \).
- Điểm \( N \) nằm trên cạnh \( CD \), có thể biểu diễn là \( N(n, 1) \) với \( 0 \leq n \leq 1 \).

2. **Chu vi tam giác \( MBN \)**:
- Tính độ dài các cạnh:
- \( MB = |m - 0| = m \)
- \( BN = |1 - n| = 1 - n \)
- \( MN = \sqrt{(1 - n)^2 + (m - 1)^2} \)
- Theo đề bài, ta có:
\[
m + (1 - n) + \sqrt{(1 - n)^2 + (m - 1)^2} = 2
\]
- Giải phương trình trên để tìm mối quan hệ giữa \( m \) và \( n \).

3. **Sử dụng kết quả từ chu vi**:
- Cho rằng \( m + (1 - n) + \sqrt{(1 - n)^2 + (m - 1)^2} = 2 \).
- Rút gọn và mở rộng các biểu thức để tìm ra được giá trị của \( m \) và \( n \).

4. **Tính góc \( \angle MAN \)**:
- Sử dụng định nghĩa về tangent với các vector:
\[
\tan(\angle MAN) = \frac{y_N - y_A}{x_N - x_A} \div \frac{y_M - y_A}{x_M - x_A}
\]
- Tính các thành phần sẽ dẫn tới \( 45^\circ \) nếu các phép toán cho ra tỷ lệ 1.

**b) Chứng minh rằng các đoạn thẳng \( BP, PQ, QD \) lập thành ba cạnh của một tam giác vuông**:

1. **Tìm giao điểm \( P \) và \( Q \)**:
- Giao điểm \( P \) là giao điểm của \( BD \) với \( AM \) và \( Q \) là giao điểm của \( BD \) với \( AN \).

2. **Sử dụng tọa độ**:
- Xác định tọa độ của \( P \) và \( Q \) thông qua phương trình đường thẳng.
- Sử dụng tính chất của tam giác vuông, tức là kiểm tra xem \( BP \perp PQ \) và \( PQ \perp QD \) hay không.

3. **Chứng minh góc vuông**:
- Sử dụng định lý Pythagore hoặc định lý cosin để xác định nếu \( BP^2 + PQ^2 = BQ^2 \).

Sau khi hoàn thành tất cả các bước trên, ta sẽ chứng minh được cả hai yêu cầu của bài toán.