Để giải bài toán này, chúng ta sẽ tiến hành từng phần như sau:

### a. Tính góc B và C

Trong hình thang cân ABCD, ta biết rằng:
- \( AB \parallel CD \)
- \( AB < CD \)
- \( \angle A = 120^\circ \)

Từ tính chất của hình thang, ta có:
- \( \angle B + \angle A = 180^\circ \)
- \( \angle C + \angle D = 180^\circ \)

Vì \( ABCD \) là hình thang cân, nên:
- \( \angle B = \angle C \)
- \( \angle A = \angle D \)

Từ đó ta có:
\[
\angle B + \angle A = 180^\circ \implies \angle B + 120^\circ = 180^\circ \implies \angle B = 60^\circ
\]
Vì \( \angle B = \angle C \), ta có:
\[
\angle C = 60^\circ
\]

### b. Tính độ dài đoạn BC

Để tính độ dài đoạn \( BC \), chúng ta có thể sử dụng định lý cosin trong tam giác \( ABD \).

Trong tam giác \( ABD \):
- \( AD = 4 \, cm \)
- \( \angle A = 120^\circ \)

Sử dụng định lý cosin:
\[
BD^2 = AB^2 + AD^2 - 2 \cdot AB \cdot AD \cdot \cos(120^\circ)
\]
Vì \( \cos(120^\circ) = -\frac{1}{2} \), do đó công thức trở thành:
\[
BD^2 = AB^2 + 4^2 + AB \cdot 4
\]
Chúng ta không có độ dài của \( AB \), nhưng có thể đặt \( AB = x \):
\[
BD^2 = x^2 + 16 + 4x
\]

Đối với đoạn \( BC \), vì \( ABCD \) là hình thang cân nên:
\[
BC = AD \cdot tan(\angle B) = 4 \cdot \tan(60^\circ) = 4 \cdot \sqrt{3}
\]
Vậy:
\[
BC = 4\sqrt{3} \, cm
\]

### c. Chứng minh rằng EBCD là hình bình hành

Kẻ \( Ax \) là tia đối của tia \( AB \) và \( By \) là đường thẳng đi qua \( B \) song song với \( BC \).

Do đó \( Ax \parallel CD \) và
- \( \angle A = 120^\circ \Rightarrow \angle D = 120^\circ \)
- \( \angle B = 60^\circ \Rightarrow \angle C = 60^\circ \)

Do đó, \( EBCD \) là hình bình hành vì nó có hai cặp cạnh đối song song với nhau:
- \( EBCD \) có \( AE \parallel CD \) và \( AB \parallel CD \).

Khi đó, các cạnh đối của hình đó bằng nhau:
- \( EB = CD \)
- \( EC = AB \)

Như vậy, đã chứng minh được rằng \( EBCD \) là hình bình hành.

Hy vọng với các bước từng phần và giải thích trên, bạn sẽ hiểu rõ hơn về bài toán.