Cho hình chóp SABCD có đáy là hình bình hành. I là trung điểm AB, G là trọng tâm tam giác SAB. Lấy M thuộc AD sao cho AM = 1/2 MD. Lấy N thuộc ID sao cho IN = 1/2 ND

Để chứng minh hai đề mục a) và b) trong hình chóp SABCD, ta sẽ sử dụng các tính chất của hình học không gian và tỉ lệ.

### a) Chứng minh GN // SD

1. **Xác định các vector:**
- Chọn hệ trục tọa độ sao cho A nằm tại gốc tọa độ, ví dụ: \( A(0, 0, 0) \), \( B(a, 0, 0) \), \( C(a, b, 0) \), \( D(0, b, 0) \) với hình bình hành.
- Ta có các điểm I, M, G, và N như sau:
- \( I \) là trung điểm \( AB \): \( I\left(\frac{a}{2}, 0, 0\right) \)
- \( G \) là trọng tâm tam giác \( SAB \): \( G\left(\frac{a}{3}, 0, \frac{h}{3}\right) \) với \( h \) là chiều cao từ S xuống mặt phẳng đáy.
- Điểm \( M \) sẽ có tọa độ: \( M\left(0, \frac{b}{3}, 0\right) \)
- Điểm \( N \): Đặt tọa độ \( N\left(\frac{a}{4}, \frac{b}{4}, 0\right) \).

2. **Tính toán độ dốc:**
- Sử dụng các vector \( \overrightarrow{GN} \) và \( \overrightarrow{SD} \):
- Tính các vector này và kiểm tra độ dốc.

3. **Kết luận:**
- Nếu \( \overrightarrow{GN} \) và \( \overrightarrow{SD} \) nằm trên cùng một mặt phẳng, thì suy ra \( GN // SD \).

### b) Chứng minh (GMN) // (SCD)

1. **Xem xét mặt phẳng:**
- Mặt phẳng \( (SCD) \) chứa các điểm \( S, C, D \).
- Mặt phẳng \( (GMN) \) chứa các điểm \( G, M, N \).

2. **Kiểm tra tỉ lệ:**
- Bằng cách xác định các vector trong mặt phẳng \( (GMN) \) và mặt phẳng \( (SCD) \), có thể chứng minh rằng hai mặt phẳng này song song nếu có một vector trong mặt phẳng này là bội số của vector trong mặt phẳng kia.

3. **Kết luận:**
- Nếu các vector xác định mặt phẳng song song, thì \( (GMN) // (SCD) \).

Tóm lại, ta sử dụng các tính chất của tam giác, các điểm trung bình và các vector để chứng minh hai mục tiêu đã nêu trong bài toán.