Tính giá trị nhỏ nhất? Cho hình bình hành ABCD. E và K là trung điểm của CD và AB, BD cắt AC tại O

### Câu 1: Tính giá trị nhỏ nhất của G
Cho \( G = x^2 + xy + y^2 - 3(x+y) + 3 \).

Ta có thể viết lại \( G \) dưới dạng:
\[
G = x^2 + xy + y^2 - 3x - 3y + 3
\]

Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( G \), ta có thể hoàn thành bình phương cho \( G \).

Gom các hạng tử theo x và y:
\[
G = (x^2 - 3x) + (y^2 + xy - 3y) + 3
\]

Hoàn thành bình phương cho \( x \):
\[
x^2 - 3x = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4}
\]

Vì vậy, ta có:
\[
G = (x - \frac{3}{2})^2 - \frac{9}{4} + (y^2 + xy - 3y) + 3
\]

Hoàn thành bình phương cho \( y \):
\[
y^2 + xy - 3y = (y + \frac{x-3}{2})^2 - \frac{(x-3)^2}{4}
\]

Như vậy, có thể tích hợp lại:
\[
G = (x - \frac{3}{2})^2 + (y + \frac{x-3}{2})^2 + 3 - \frac{9}{4} - \frac{(x-3)^2}{4}
\]

Để đạt được giá trị tối thiểu, các bình phương cần phải bằng không. Do đó, tìm nghiệm tại điểm \( O \) sao cho:
\[
x = \frac{3}{2}, y = \frac{3-x}{2}
\]

### Câu 2: Hình bình hành ABCD và các điểm E, K
Cho hình bình hành ABCD với E và K là trung điểm của CD và AB.

**a. Chứng minh AECK là hình bình hành:**

- Điểm K là trung điểm đoạn AB, và điểm E là trung điểm đoạn CD.
- Việc chứng minh AECK là hình bình hành thì ta cần chỉ ra rằng các cạnh đối diện AE và CK song song và bằng nhau, cũng như AK và EC cũng vậy.
- Do D là đối diện với B và C đối diện với A, ta có:
- Vectơ \( \overrightarrow{AE} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{AD} + \overrightarrow{AB}) \)
- Vectơ \( \overrightarrow{CK} = \frac{1}{2}(\overrightarrow{CD} + \overrightarrow{CB}) \)

**b. Chứng minh E, O, K thẳng hàng:**
- Điểm O là giao điểm của BD và AC. Hai đường thẳng này đều nằm trong hình bình hành và có tính chất đối xứng của hình bình hành.

**c. Chứng minh AC, BD, EK đồng quy:**
- Tương tự như phần trên, ta thấy các đoạn thẳng AC, BD, EK được tạo thành từ các trung điểm và các điểm đối diện trong hình bình hành, do đó có tính đồng quy.

### Câu 3: Tìm A và Thương

**a, Tìm A sao cho \( A: 4xy = -\frac{1}{2} x^2 \)**:
- Giải phương trình này để tìm các giá trị của x và y.

**b, Tìm thương của biểu thức:**

\[
[9x^3(x^2 - 1) - 6x^2(x^2 - 1)^2 + 12x(x^2 - 1)] : 3x(x^2 - 1)
\]
- Bạn cần giải phức biểu thức trên để tìm toán tử (thương).

### Cuối cùng: Rút gọn A và tính \( A \) tại \( x = \frac{1}{3} \)

Cho \( A = (3x + 2)(3x - 2) - 9x(x - 1) \).

- Rút gọn A bằng cách mở ngoặc:
\[
A = (9x^2 - 4) - (9x^2 - 9x) = 9x - 4
\]

- Tính A tại \( x = \frac{1}{3} \):
\[
A = 9(\frac{1}{3}) - 4 = 3 - 4 = -1
\]

Hy vọng các giải đáp trên giúp ích cho bạn!