Để giải bài toán này, ta có hệ ba phương trình:

1. \( 7x = 9y \)
2. \( 3y = 7z \)
3. \( x - y + z = -15 \)

**Bước 1:** Tìm quan hệ giữa \(x\), \(y\), và \(z\).

Từ phương trình (1):
\[
x = \frac{9}{7}y
\]

Từ phương trình (2):
\[
y = \frac{7}{3}z \implies z = \frac{3}{7}y
\]

**Bước 2:** Thay giá trị của \(x\) và \(z\) vào phương trình (3).

Thay \(x\) và \(z\) vào (3):
\[
\frac{9}{7}y - y + \frac{3}{7}y = -15
\]

**Bước 3:** Đơn giản hóa biểu thức.

\[
\frac{9}{7}y - \frac{7}{7}y + \frac{3}{7}y = -15
\]
\[
\frac{9y - 7y + 3y}{7} = -15
\]
\[
\frac{5y}{7} = -15
\]

**Bước 4:** Giải phương trình để tìm \(y\).

Nhân cả hai bên với 7:
\[
5y = -105
\]
\[
y = -21
\]

**Bước 5:** Tìm \(x\) và \(z\).

Từ \(y\) tìm \(x\):
\[
x = \frac{9}{7}(-21) = -27
\]

Từ \(y\) tìm \(z\):
\[
z = \frac{3}{7}(-21) = -9
\]

**Kết quả:** Các giá trị là:
\[
x = -27, \quad y = -21, \quad z = -9
\]