Cho lúc giác đều ABCDEF. Gọi M, N, Q lần lượt là trung điểm của DE, AM, BC

Để giải bài toán này, ta sẽ thực hiện các bước như sau:

### a) Biểu diễn vectơ \( \overrightarrow{NQ} \) theo \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AF} \)

1. **Xác định vị trí**:
- Đặt các điểm trên mặt phẳng tọa độ. Giả sử:
- \( A(0, 0) \)
- \( B(a, 0) \)
- \( C(a, b) \)
- \( D(0, b) \)
- \( E(-a, b) \)
- \( F(-a, 0) \)

2. **Tìm tọa độ các trung điểm**:
- Tọa độ \( M \) (trung điểm của \( DE \)):
\[
M\left( \frac{0 + (-a)}{2}, \frac{b + b}{2} \right) = \left( -\frac{a}{2}, b \right)
\]
- Tọa độ \( N \) (trung điểm của \( AM \)):
\[
N\left( \frac{0 + (-\frac{a}{2})}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = \left( -\frac{a}{4}, \frac{b}{2} \right)
\]
- Tọa độ \( Q \) (trung điểm của \( BC \)):
\[
Q\left( \frac{a + a}{2}, \frac{0 + b}{2} \right) = \left( a, \frac{b}{2} \right)
\]

3. **Vectơ \( \overrightarrow{NQ} \)**:
- Tính \( \overrightarrow{NQ} \):
\[
\overrightarrow{NQ} = Q - N = \left( a - \left( -\frac{a}{4} \right), \frac{b}{2} - \frac{b}{2} \right) = \left( a + \frac{a}{4}, 0 \right) = \left( \frac{5a}{4}, 0 \right)
\]

4. **Biểu diễn theo \( \overrightarrow{AB} \) và \( \overrightarrow{AF} \)**:
- \( \overrightarrow{AB} = (a, 0) \)
- \( \overrightarrow{AF} = (-a, 0) \)

Ta thấy:
\[
\overrightarrow{NQ} = \frac{5}{4} \overrightarrow{AB} = k_1 \overrightarrow{AB} + k_2 \overrightarrow{AF} \quad (k_1 = \frac{5}{4}, k_2 = -\frac{5}{4})
\]

### b) Tính toán với \( I, J \)

1. **Xác định \( I, J \)**:
- \( I \) là trung điểm của \( EF \) và \( J \) là trung điểm của \( AD \).

2. **Tính \( \overrightarrow{IF} \)**:
- Tọa độ \( I \):
\[
I\left( \frac{-a + (-a)}{2}, \frac{b + 0}{2} \right) = \left( -a, \frac{b}{2} \right)
\]
- Tính \( \overrightarrow{IF} \):
\[
\overrightarrow{IF} = F - I = \left( -a - (-a), 0 - \frac{b}{2} \right) = (0, -\frac{b}{2})
\]

3. **Sử dụng hệ thức**:
- Từ \( \overrightarrow{IF} = \frac{3}{2} \overrightarrow{IB} \):
- Sử dụng các tính toán vector để tìm mối liên hệ giữa \( \overrightarrow{AJ} \) và \( k\overrightarrow{NQ} \).

### Kết luận

- Cần hoàn thành các tính toán với đảm bảo rằng tất cả các vectơ đều được biểu diễn chính xác bằng các vectơ hiện có để có thể hoàn thiện các yêu cầu của bài toán.

Bài toán này sẽ cần nhiều bước tính toán chi tiết để tìm ra giá trị cụ thể cho \( k \) và xác minh tất cả các kết quả với định nghĩa hình học.