Cho A, B, C nhọn. Các đường cao A, F, B, E, C, G cắt nhau tại H. M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MH, lấy điểm D sao cho M là trung điểm của AD

Để giải bài này, ta sẽ lần lượt thực hiện các yêu cầu a), b), và c).

### a) Chứng minh tứ giác HFGH là hình bình hành.

1. **Xác định các điểm:**
- H là giao điểm của các đường cao.
- F và G lần lượt là giao điểm của đường cao từ A với BC và đường cao từ C với AB.

2. **Chứng minh:**
- Về tính chất của tứ giác:
- Do H là giao điểm của đường cao từ A và từ C, nên H là điểm chính giữa đoạn FG (biết rằng các đường cao cắt nhau tại H).
- Điều đó có nghĩa là HF = HG (do H là trung điểm của FG).
- Từ đó, tứ giác HFGH sẽ là hình bình hành vì có hai cặp cạnh đối diện bằng nhau.

### b) Chứng minh ΔABD vuông tại B, ΔACD vuông tại C.

1. **Đối với ΔABD:**
- M của BC là trung điểm, suy ra MB = MC.
- H là giao điểm của đường cao từ A nên ∠ABH = 90°.
- Vậy ΔABD vuông tại B.

2. **Đối với ΔACD:**
- H là giao điểm của đường cao từ C, nên ∠ACH = 90°.
- Vậy ΔACD vuông tại C.

### c) Gọi I là trung điểm của AD. Chứng minh I_A = IB = IC = ID.

1. **Xác định các đoạn:**
- M là trung điểm của AD nghĩa là AM = MD.
- Từ đó, ta có thể suy ra được rằng:
- I_A = IA = IM = ID
- IB = IC (do M là trung điểm của BC)

2. **Chứng minh:**
- Do I là trung điểm của AD, có nghĩa I chia AD thành hai đoạn bằng nhau.
- Hơn nữa, tính đối xứng của hình cho thấy rằng các đoạn từ I đến các đỉnh B, C, hay D cũng sẽ bằng nhau trong tứ giác.

Như vậy, bài toán đã được giải thích theo từng bước chi tiết.