Để chứng minh \( A = 1 + 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{11} \) chia hết cho 3 mà không cần tính tổng, ta có thể xem xét chu kỳ của \( 2^n \mod 3 \).

Trước hết, ta tính \( 2^n \mod 3 \) cho một vài giá trị \( n \):

- \( 2^0 \mod 3 = 1 \)
- \( 2^1 \mod 3 = 2 \)
- \( 2^2 \mod 3 = 1 \)
- \( 2^3 \mod 3 = 2 \)
- \( 2^4 \mod 3 = 1 \)
- \( 2^5 \mod 3 = 2 \)

Nhận thấy rằng \( 2^n \mod 3 \) có chu kỳ lặp lại với chu kỳ 2:

- Nếu \( n \) chẵn, \( 2^n \mod 3 = 1 \)
- Nếu \( n \) lẻ, \( 2^n \mod 3 = 2 \)

Ta có thể phân tích:

- Các số hạng chẵn trong dãy \( 1, 2, 2^2, 2^3, \ldots, 2^{11} \) là: \( 1, 2^2, 2^4, 2^6, 2^8, 2^{10} \)
- Các số hạng lẻ là: \( 2, 2^3, 2^5, 2^7, 2^9, 2^{11} \)

Số hạng chẵn có 6 phần tử với giá trị:
- \( 1 + 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 6 \) (mà \( 6 \mod 3 = 0 \))

Số hạng lẻ có 6 phần tử với giá trị:
- \( 2 + 2 + 2 + 2 + 2 + 2 = 12 \) (mà \( 12 \mod 3 = 0 \))

Tổng lại, ta có:
\[
A \mod 3 = (S_{\text{chẵn}} + S_{\text{lẻ}}) \mod 3 = 0 + 0 = 0
\]

Vậy \( A \) chia hết cho 3. Chúng ta đã chứng minh rằng \( A \) chia hết cho 3 mà không cần tính tổng.