Để tính tổng \( A = 2 + 2^2 + 2^3 + \ldots + 2^{20} \), ta có thể sử dụng công thức tổng của chuỗi hình học.

Chuỗi này có công bội \( q = 2 \) và số hạng đầu tiên \( a = 2 \). Tổng của \( n \) hạng đầu tiên của chuỗi hình học có công thức:

\[
S_n = a \frac{q^n - 1}{q - 1}
\]

Ở đây, \( n = 20 \), do đó:

\[
A = 2 \frac{2^{20} - 1}{2 - 1} = 2(2^{20} - 1) = 2^{21} - 2
\]

Tiếp theo, ta cần xét \( A \) chia cho 5.

Đầu tiên, tìm \( 2^{21} \mod 5 \). Ta có:

\[
2^1 \equiv 2 \mod 5
\]
\[
2^2 \equiv 4 \mod 5
\]
\[
2^3 \equiv 3 \mod 5
\]
\[
2^4 \equiv 1 \mod 5
\]

Phát hiện rằng \( 2^4 \equiv 1 \mod 5 \) cho thấy chu trình lặp lại với chu kỳ 4. Do đó, để tìm \( 2^{21} \mod 5 \), ta tính:

\[
21 \mod 4 = 1 \implies 2^{21} \equiv 2^1 \equiv 2 \mod 5
\]

Vậy thì:

\[
2^{21} - 2 \equiv 2 - 2 \equiv 0 \mod 5
\]

Do đó, ta kết luận rằng tổng \( A \) chia hết cho 5.