Chúng ta có thể nhận ra rằng biểu thức \( A \) là một chuỗi số hạng luân phiên (chuỗi có dấu cộng và dấu trừ) với các số hạng là các lũy thừa của \( \frac{1}{6} \). Để tính tổng, chúng ta có thể phân nhóm các số hạng.

Dễ dàng nhận thấy rằng \( A \) có thể được viết lại như sau:
\[
A = \sum_{n=1}^{1000} \frac{(-1)^{n+1}}{6^n}
\]

Chúng ta có thể chia chuỗi trên thành hai phần, các số hạng với \( n \) chẵn và lẻ:
- Với \( n \) lẻ: \( \frac{1}{6} + \frac{1}{6^3} + \frac{1}{6^5} + \ldots + \frac{1}{6^{999}} \)
- Với \( n \) chẵn: \( -\frac{1}{6^2} - \frac{1}{6^4} - \ldots - \frac{1}{6^{1000}} \)

Tổng của chuỗi là:
\[
A = \sum_{k=0}^{499} \frac{1}{6^{2k+1}} - \sum_{k=1}^{500} \frac{1}{6^{2k}}
\]

### Tính tổng của chuỗi lẻ
Chuỗi lẻ có thể tính tổng như sau:
\[
S_1 = \frac{1/6}{1 - 1/36} = \frac{1/6}{35/36} = \frac{6}{35}
\]
vì đây là chuỗi hình học với \( a_1 = \frac{1}{6} \) và \( r = \frac{1}{36} \).

### Tính tổng của chuỗi chẵn
Chuỗi chẵn có thể tính tổng như sau:
\[
S_2 = \frac{1/36}{1 - 1/36} = \frac{1/36}{35/36} = \frac{1}{35}
\]
vì chuỗi này cũng là chuỗi hình học với \( a_1 = \frac{1}{36} \) và \( r = \frac{1}{36} \).

### Tính \( A \)
Bây giờ ta tính \( A \):
\[
A = S_1 - S_2 = \frac{6}{35} - \frac{1}{35} = \frac{5}{35} = \frac{1}{7}
\]

### So sánh với \( \frac{1}{37} \)
Cuối cùng, chúng ta cần chứng minh rằng:
\[
\frac{1}{7} < \frac{1}{37}
\]

Tính giá trị từng phân số:
- \( \frac{1}{7} \approx 0.142857 \)
- \( \frac{1}{37} \approx 0.027027 \)

Đúng là \( \frac{1}{7} > \frac{1}{37} \), do đó chứng minh \( A < \frac{1}{37} \) không đúng. Kết luận:

Bài toán không đúng, thực tế là \( A = \frac{1}{7} \) và không nhỏ hơn \( \frac{1}{37} \) mà lớn hơn.