Để giải hệ phương trình:

1. \( x(y + 2) = 8 \)
2. \( xy + x + y = 2 \)

Chúng ta sẽ làm từng bước cho các phương trình.

### Bước 1: Giải phương trình đầu tiên.

Từ phương trình đầu tiên:

\[
x(y + 2) = 8
\]

Khi chúng ta chia cả hai vế cho \( x \) (giả sử \( x \neq 0 \)):

\[
y + 2 = \frac{8}{x}
\]

Giải cho \( y \):

\[
y = \frac{8}{x} - 2
\]

### Bước 2: Thay giá trị \( y \) vào phương trình thứ hai.

Thay giá trị của \( y \) vào phương trình thứ hai:

\[
x\left(\frac{8}{x} - 2\right) + x + \left(\frac{8}{x} - 2\right) = 2
\]

Đơn giản hóa:

\[
8 - 2x + x + \frac{8}{x} - 2 = 2
\]

Kết hợp các số hạng lại:

\[
6 - x + \frac{8}{x} = 2
\]

Chuyển 2 sang vế bên trái:

\[
6 - x + \frac{8}{x} - 2 = 0
\]

Điều này trở thành:

\[
4 - x + \frac{8}{x} = 0
\]

### Bước 3: Nhân tất cả các số hạng với \( x \) để loại bỏ mẫu.

Nhân cả hai vế với \( x \) (giả sử \( x \neq 0 \)):

\[
4x - x^2 + 8 = 0
\]

Chuyển phương trình về dạng chuẩn:

\[
-x^2 + 4x + 8 = 0
\]

Thay đổi dấu toàn bộ phương trình:

\[
x^2 - 4x - 8 = 0
\]

### Bước 4: Giải phương trình bậc hai.

Sử dụng công thức nghiệm của phương trình bậc hai:

\[
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
\]

Ở đây \( a = 1, b = -4, c = -8 \):

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{(-4)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-8)}}{2 \cdot 1}
\]

Tính toán:

\[
x = \frac{4 \pm \sqrt{16 + 32}}{2} = \frac{4 \pm \sqrt{48}}{2} = \frac{4 \pm 4\sqrt{3}}{2} = 2 \pm 2\sqrt{3}
\]

### Bước 5: Tìm giá trị của \( y \).

Áp dụng các giá trị của \( x \) vào công thức tìm \( y \):

\[
y = \frac{8}{x} - 2
\]

- Với \( x = 2 + 2\sqrt{3} \):

\[
y = \frac{8}{2 + 2\sqrt{3}} - 2 = \frac{8(1 - \sqrt{3})}{-2} = 4\sqrt{3} - 4
\]

- Với \( x = 2 - 2\sqrt{3} \):

\[
y = \frac{8}{2 - 2\sqrt{3}} - 2 = \frac{8(1 + \sqrt{3})}{10} = \frac{4 + 4\sqrt{3}}{5} - 2
\]

### Kết luận

Ta có hai nghiệm cho \( (x, y) \):

1. \( x = 2 + 2\sqrt{3}, \, y = 4 - 4\sqrt{3} \)
2. \( x = 2 - 2\sqrt{3}, \, y = 4 + 4\sqrt{3} \)

Như vậy, nghiệm cuối cùng là:

- \( x = 2 + 2\sqrt{3}, \, y = 4 - 4\sqrt{3} \)
- \( x = 2 - 2\sqrt{3}, \, y = 4 + 4\sqrt{3} \)