Để chứng minh rằng \(2n-1\) và \(5n+2\) là hai số nguyên tố cùng nhau cho mọi \(n\), ta sẽ sử dụng định nghĩa về ước số chung.

**CMR 1: \(2n-1\) và \(5n+2\) nguyên tố cùng nhau.**

Hai số nguyên \(a\) và \(b\) được gọi là nguyên tố cùng nhau nếu \(u = \gcd(a, b) = 1\). Ta sẽ chứng minh rằng \(\gcd(2n-1, 5n+2) = 1\).

Giả sử \(d\) là một ước số chung lớn nhất của \(2n-1\) và \(5n+2\), tức là \(d | (2n-1)\) và \(d | (5n+2)\).

Từ đó, ta viết:

\[
2n - 1 \equiv 0 \ (\text{mod} \ d) \implies 2n \equiv 1 \ (\text{mod} \ d)
\]

\[
5n + 2 \equiv 0 \ (\text{mod} \ d) \implies 5n \equiv -2 \ (\text{mod} \ d)
\]

Giờ ta nhân hai vế của phương trình đầu tiên với 5:

\[
5 \cdot (2n) \equiv 5 \cdot 1 \ (\text{mod} \ d) \implies 10n \equiv 5 \ (\text{mod} \ d)
\]

Bây giờ cộng \(10n\) và \(5n\):

\[
10n + 5n \equiv 5 - 2 \ (\text{mod} \ d) \implies 15n \equiv 3 \ (\text{mod} \ d)
\]

Chia hai vế cho 3 (giả sử \(d \neq 3\)):

\[
5n \equiv 1 \ (\text{mod} \ d)
\]

Từ đây ta có:

\[
5n \equiv 1 \implies d | 5n - 1
\]

Kết hợp với \(2n \equiv 1 \implies d | 2n - 1\). Do \(d\) chia cả hai biểu thức nên ta có:

\[
d \text{ chia cho } 1 \implies d = 1
\]

Vậy, \(\gcd(2n-1, 5n+2) = 1\), chứng tỏ \(2n-1\) và \(5n+2\) là nguyên tố cùng nhau.

---

**CMR 2: \(n^2\) và \(n+2\) không nguyên tố cùng nhau.**

Ta sẽ chứng minh rằng \(n^2\) và \(n+2\) có một ước số chung.

Rõ ràng, \(n^2\) được chia cho \(n\), do đó nếu \(n\) là số chẵn, \(n\) sẽ chia cho 2. Ta sẽ kiểm tra khi \(n = 2\):

\[
n = 2 \implies n^2 = 4 \text{ và } n+2 = 4
\]

Ta thấy \(\gcd(4, 4) = 4 \neq 1\).

Nếu \(n\) là số lẻ, thì \(n+2\) là số chẵn:

Với bất kỳ giá trị nào, ta thấy khi \(n\) là số chẵn, cả hai biểu thức cùng chia cho 2 hoặc có thể là một số nguyên.

Do đó, trong trường hợp tổng quát, ta có thể nói rằng \(\gcd(n^2, n+2) \neq 1\), chứng tỏ rằng \(n^2\) và \(n+2\) không nguyên tố cùng nhau.

Kết luận: \(2n-1\) và \(5n+2\) nguyên tố cùng nhau, trong khi \(n^2\) và \(n+2\) không nguyên tố cùng nhau.