Cho tam giác ABC vuông ở A có đường trung tuyến AD. Kẻ DH // AC và DK // AB (H ∈ AB; K ∈ AC). Chứng minh: tứ giác AHDK là hình chữ nhật

Để chứng minh tứ giác \( AHDK \) là hình chữ nhật, chúng ta cần chứng minh rằng nó có hai cặp cạnh đối diện song song và bằng nhau hoặc tất cả các góc đều là góc vuông.

### Bước 1: Tính chất các đoạn thẳng

1. **AD là đường trung tuyến**: Do \( \triangle ABC \) vuông tại \( A \), nên \( AD \) chia cạnh \( BC \) thành hai đoạn \( BD \) và \( DC \) bằng nhau.
2. **DH // AC và DK // AB**: Điều này có nghĩa là \( DH \) và \( DK \) là các đường thẳng song song với các cạnh của tam giác.

### Bước 2: Chứng minh góc vuông

- **Chứng minh \( \angle AHD = 90^\circ \)**:
- Vì \( DH \) // \( AC \) và \( AB \) vuông góc với \( AC \) nên \( \angle AHD = 90^\circ \).

- **Chứng minh \( \angle ADK = 90^\circ \)**:
- Tương tự, vì \( DK \) // \( AB \) và \( AC \) vuông góc với \( AB \) nên \( \angle ADK = 90^\circ \).

### Bước 3: Chứng minh hai cặp cạnh đối diện bằng nhau

- **AD trong tứ giác \( AHDK \)**:
- Theo định nghĩa của trung tuyến, \( AD = DH \) và \( AD = DK \).

- Vậy \( AH = DK \) và \( DH = AD \), do đó các cặp cạnh đối diện là:
- \( AH \parallel DK \) và \( AD \parallel DH \), đồng thời các góc đối diện bằng nhau.

### Kết luận

Vậy tứ giác \( AHDK \) có cả hai cặp cạnh đối diện bằng nhau và các góc đều là góc vuông. Suy ra, tứ giác \( AHDK \) là hình chữ nhật.