Cho tam giác ABC nhọn, có M là trung điểm BC, trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MD = MA

Chúng ta có tam giác ABC nhọn với M là trung điểm của đoạn BC. Ta sẽ lần lượt giải quyết các phần của bài toán.

### Phần a: Chứng minh ABCD là hình bình hành

Vì M là trung điểm của BC, nên ta có:

\[
MB = MC
\]

Theo giả thiết, ta có \(MD = MA\) và điểm D nằm trên tia đối của tia MA.

Do \(AD = AM + MD = AM + MA = 2MA\), và đoạn MD kéo dài còn MA thì không kéo dài vì D nằm trên tia đối của tia MA.

Ta có điểm D đối xứng với M qua A, nên chúng ta có thể viết:

\[
AB = DC \quad \text{(vì A là điểm đối xứng của D qua M)}
\]
\[
AD \parallel BC \quad \text{(vì D ở phía đối diện)}
\]

Với \(AB = DC\) và \(AD \parallel BC\), ta kết luận rằng ABCD là hình bình hành.

### Phần b: Điểm E đối xứng với A qua đường thẳng BC, AE cắt BC tại H, và chứng minh \(HM = \frac{1}{2}ED\)

Để chứng minh điều này, ta cần xác định vị trí của các điểm. Vì E là điểm đối xứng với A qua đường thẳng BC, nên cách tọa độ của A và E sẽ thoả mãn tính đối xứng qua BC.

Giả sử M là trung điểm của BC, và H là giao điểm của AE với BC. Do thuyết đối xứng, khoảng cách từ A đến BC bằng khoảng cách từ E đến BC.

Vì M là trung điểm của BC:

\[
HM = \frac{1}{2} \cdot AH = \frac{1}{2} \cdot (HA + HE) = \frac{1}{2}ED
\]

### Phần c: Chứng minh BCED là hình thang cân

Để chứng minh BCED là hình thang cân, ta cần chỉ ra rằng \(BE\) song song với \(CD\) và \(BC\) là đường trung bình.

Do \(AD \parallel BC\) từ phần a), và \(E\) là đối xứng của A qua BC, điều đó có nghĩa rằng:

\[
BE \parallel DC
\]

Vì B và C là hai điểm trên đường thẳng BC, chúng ta có thể thấy rằng B và C đang đối diện qua mặt phẳng của hình thang cho trước.

Ta có:

\[
BE = CD
\]

Với tất cả các kết quả trên, ta có thể khẳng định rằng BCED là hình thang cân với \(BE \parallel CD\) và \(BC\) là đường trung bình.

Tóm lại, ta đã chứng minh thành công các phần của bài toán:
- a) ABCD là hình bình hành.
- b) \(HM = \frac{1}{2}ED\).
- c) BCED là hình thang cân.