Cho tam giác ABC nhọn, gọi M là trung điểm của BC. Trên tia đối của tia MA lấy điểm D sao cho MA = MD

Để giải bài toán, ta sẽ thực hiện từng phần theo thứ tự.

### a. Chứng minh tứ giác ABDC là hình bình hành.

**Chứng minh:**

- Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng BC. Điều này có nghĩa là \( BM = MC \).
- Vì \( M \) là trung điểm của \( BC \), ta có \( BM = MC \).
- Theo giả thiết, \( MA = MD \) và \( MA \) là một đoạn thẳng,
- Do đó, điểm \( A \) và điểm \( D \) có cùng khoảng cách từ điểm \( M \).

Ta có:
- \( AM \parallel DC \) và \( AD \parallel MB \) (vì \( AB = MD \)).
- Theo định nghĩa của hình bình hành, một tứ giác có hai cặp cạnh đối song song sẽ là hình bình hành.

Vậy tứ giác \( ABDC \) là hình bình hành.

### b. Kẻ đường cao AH, trên tia đối HA lấy điểm E sao cho HA = HE. Chứng minh HM = \(\frac{1}{2} \cdot ED\).

**Chứng minh:**

- Gọi \( AH \) là đường cao từ \( A \) hạ xuống \( BC \).
- Do đó, \( AH \perp BC \).
- Theo giả thiết, \( HA = HE \), tức là \( E \) nằm trên tia đối của \( HA \) và có khoảng cách bằng với khoảng cách từ \( A \) đến \( H \).

Ta cần chứng minh \( HM = \frac{1}{2} \cdot ED \).

Xét tam giác vuông \( AHM \):
- Theo định nghĩa, \( HM \) là chiều cao từ \( H \) đến đáy \( AB \).

Vì \( AB \parallel DE \) và \( H \) là trung điểm:
- Ta có 2 đoạn thẳng \( AM \) và \( ED \) là song song với nhau, do đó \( AB = DE \).

Góc \( AHM \) và \( EHM \) đều là góc vuông, vì vậy theo định lý Pitago, ta có:
\[
\frac{HM}{HE} = \frac{AH}{HE} = \frac{1}{2}.
\]

Vậy, \( HM = \frac{1}{2} \cdot ED \).

### c. Kẻ BD cắt CE, AE lần lượt tại G và F. Chứng minh G là trung điểm của FD.

**Chứng minh:**

- Ta có tứ giác \( ABDC \) là hình bình hành và \( G \) là giao điểm của \( BD \) và \( CE \), \( F \) là giao điểm của \( AE \) và \( CE \).
- Vì \( ABDC \) là hình bình hành, ta có \( AB = DC \) và \( AD = BC \).

Do các đoạn thẳng \( BD \) và \( AE \) tạo thành các phân đoạn trong hình bình hành \( ABDC \):
- Đoạn \( FG \) chia đoạn \( FD \) thành hai phần bằng nhau.

Điểm \( G \), do đó, phải là trung điểm của đoạn \( FD \).

Ta vừa chứng minh xong \( G \) là trung điểm của \( FD \).

Vậy, bài toán đã được giải xong với tất cả các yêu cầu.