Để chứng minh rằng nếu \( 7x + 9y \equiv 0 \mod 13 \) thì \( x + 5y \equiv 0 \mod 13 \), ta sẽ làm việc với các phép biến đổi trong modulo 13.

Từ giả thiết \( 7x + 9y \equiv 0 \mod 13 \), ta có:

\[
7x + 9y = 13k \quad \text{(với } k \text{ là một số nguyên)}
\]

Chúng ta sẽ tìm cách liên hệ biểu thức \( x + 5y \) với \( 7x + 9y \).

Đầu tiên, chúng ta có thể tìm nghịch đảo của 7 trong modulo 13. Ta cần tìm số nguyên \( a \) sao cho:

\[
7a \equiv 1 \mod 13
\]

Bằng cách thử các giá trị từ 1 đến 12, ta tìm được rằng:

\[
7 \cdot 2 = 14 \equiv 1 \mod 13
\]

Vậy nghịch đảo của 7 trong modulo 13 là 2. Giờ ta nhân toàn bộ phương trình \( 7x + 9y \equiv 0 \) với 2 để đưa nó về dạng \( x + 5y \):

\[
2(7x + 9y) \equiv 2 \cdot 0 \mod 13
\]

Điều này đưa đến:

\[
14x + 18y \equiv 0 \mod 13
\]

Rút gọn các hệ số trong modulo 13:

\[
x + 5y \equiv 0 \mod 13
\]

Như vậy, ta đã chứng minh được rằng từ giả thiết \( 7x + 9y \equiv 0 \mod 13 \), ta có kết luận \( x + 5y \equiv 0 \mod 13 \).

**Kết luận**: Nếu \( 7x + 9y \equiv 0 \mod 13 \), thì \( x + 5y \equiv 0 \mod 13 \) là đúng.