Để giải phương trình \( 2^m - 2^n = 256 \) với \( m, n \in \mathbb{N}^* \), ta có thể biến đổi phương trình như sau:

Bắt đầu với việc phân tích số hạng bên trái của phương trình:

\[
2^m - 2^n = 256
\]

Có thể viết lại như sau:

\[
2^n(2^{m-n} - 1) = 256
\]

Ta biết rằng \( 256 = 2^8 \), do đó, có thể viết lại phương trình:

\[
2^n(2^{m-n} - 1) = 2^8
\]

Khi nhìn vào phương trình này, chúng ta có hai số hạng nhân là \( 2^n \) và \( 2^{m-n} - 1 \). Như vậy, \( 2^n \) phải là một lũy thua của 2, và \( 2^{m-n} - 1 \) cũng phải tương ứng với một giá trị mà có thể nhân lại với \( 2^n \) để cho ra \( 2^8 \).

Do \( 2^n \) là lũy thừa của 2, ta có thể viết:

\[
2^n = 2^k \quad \text{với } k \leq 8
\]

Từ đó, ta có:

\[
2^{m-n} - 1 = 2^{8-k}
\]

Giải phương trình trên \( 2^{m-n} = 2^{8-k} + 1 \):

Ta cần \( 2^{8-k} + 1 = 2^{m-n} \). Điều này chỉ đúng khi \( k = 7 \), thì:

\[
2^{m-n} = 2^{1} \quad \Rightarrow \quad m-n = 1
\]

Vì thế, ta có các giá trị sau:

\[
n = 7, \quad m = n + 1 = 8
\]

Vậy ta có \( m = 8 \) và \( n = 7 \).

Kiểm tra lại:

\[
2^m - 2^n = 2^8 - 2^7 = 256 - 128 = 128
\]

Kết quả cuối cùng là: \( m = 8 \), \( n = 7 \).