Để tìm hai số tự nhiên có tích bằng 300 và ước chung lớn nhất (ƯCLN) là 5, ta thực hiện các bước sau:

1. **Phân tích số 300 thành các thừa số nguyên tố:**
\[
300 = 3 \times 100 = 3 \times 10^2 = 3 \times (2 \times 5)^2 = 3 \times 2^2 \times 5^2
\]
Vậy:
\[
300 = 2^2 \times 3^1 \times 5^2
\]

2. **Giả sử hai số cần tìm là \(a\) và \(b\).**
Vì ƯCLN của \(a\) và \(b\) là 5, ta có thể viết:
\[
a = 5m \quad \text{và} \quad b = 5n
\]
với \(m\) và \(n\) là các số tự nhiên không có 5 làm ước chung.

3. **Tính tích:**
\[
a \times b = (5m) \times (5n) = 25mn
\]
Do đó,
\[
25mn = 300 \implies mn = \frac{300}{25} = 12
\]

4. **Tìm các cặp số \(m\) và \(n\) có tích bằng 12.** Các cặp số tự nhiên có tích bằng 12 là:
- \(1 \times 12\)
- \(2 \times 6\)
- \(3 \times 4\)

5. **Tính \(a\) và \(b\):**
- Với \(m = 1\) và \(n = 12\):
\[
a = 5 \times 1 = 5, \quad b = 5 \times 12 = 60 \quad (Tích: 5 \times 60 = 300)
\]
- Với \(m = 2\) và \(n = 6\):
\[
a = 5 \times 2 = 10, \quad b = 5 \times 6 = 30 \quad (Tích: 10 \times 30 = 300)
\]
- Với \(m = 3\) và \(n = 4\):
\[
a = 5 \times 3 = 15, \quad b = 5 \times 4 = 20 \quad (Tích: 15 \times 20 = 300)
\]

6. **Kết luận:**
Các cặp số tự nhiên mà ta tìm được là:
- \((5, 60)\)
- \((10, 30)\)
- \((15, 20)\)

Tất cả các cặp trên đều thỏa mãn điều kiện tích bằng 300 và ƯCLN bằng 5.