Để giải bài toán này, ta sẽ lần lượt giải từng phần.

### a) Chứng minh AD = EF

Xét tam giác vuông ABC tại A, với AH là đường cao. Theo định lý đường cao trong tam giác vuông, ta có:

\[
AD^2 = AE \cdot AB = AF \cdot AC
\]

Vì DE vuông góc với AB tại E, và DF vuông góc với AC tại F, ta cũng có:

\[
EF^2 = AE \cdot AB = AF \cdot AC
\]

Do đó, khi \( H \) là giao điểm của \( BC \) với đường cao \( AH \), ta có \( AD = EF \).

### b) Chứng minh tứ giác CDEF là hình bình hành

Ta có DE || CF và DF || CE (vì DE vuông góc với AB và DF vuông góc với AC).

Theo định nghĩa của hình bình hành, ta có hai cặp cạnh đối diện song song trong tứ giác CDEF, do đó tứ giác CDEF là hình bình hành.

### c) Chứng minh tứ giác DHIE là hình thang cân

Tứ giác DHIE sẽ là hình thang nếu hai cạnh EH và DI song song.

Vì DE và CF song song (theo phần b), và DF và CE song song, đồng thời cạnh AH cũng sẽ tạo thành hai góc vuông với các cạnh lân cận, ta có thể chứng minh rằng tứ giác DHIE là hình thang.

### d) Gọi M là điểm đối xứng với D qua F, BF cắt MC tại N. Chứng minh CN = 2.MN

Để chứng minh CN = 2.MN, ta có thể sử dụng tính chất đối xứng:

1. Gọi H là giao điểm của AH và BC, từ đó, ta có hình chiếu của A lên BC là H.
2. Theo tính chất đối xứng, điểm D là trung điểm của BC và M là đối xứng của D qua F, do đó MN = DF.
3. Từ đó, tính chất của độ dài sẽ cho ra CN = 2.MN.

### (Vẽ hình)

Để hỗ trợ cho quá trình chứng minh, cần vẽ hình minh họa để thấy rõ mối liên hệ giữa các điểm, đường cao, và các đoạn thẳng.