Để giải bất phương trình \((x−1)^2 + x^2 ≤ (x+1)^2 + (x+2)^2\), chúng ta sẽ tiến hành từng bước.

Bước 1: Mở rộng từng vế.

\[
(x−1)^2 = x^2 - 2x + 1
\]
\[
x^2 = x^2
\]
\[
(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1
\]
\[
(x+2)^2 = x^2 + 4x + 4
\]

Bây giờ, thay thế vào bất phương trình:

\[
(x^2 - 2x + 1) + x^2 ≤ (x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4)
\]

Bước 2: Cộng tất cả các hạng tử lại với nhau.

Vế trái:

\[
x^2 - 2x + 1 + x^2 = 2x^2 - 2x + 1
\]

Vế phải:

\[
(x^2 + 2x + 1) + (x^2 + 4x + 4) = 2x^2 + 6x + 5
\]

Bây giờ chúng ta có:

\[
2x^2 - 2x + 1 ≤ 2x^2 + 6x + 5
\]

Bước 3: Rút gọn bất phương trình.

Trừ \(2x^2\) từ cả hai vế:

\[
-2x + 1 ≤ 6x + 5
\]

Bước 4: Chuyển tất cả các hạng tử về một bên.

\[
-2x - 6x + 1 ≤ 5
\]
\[
-8x + 1 ≤ 5
\]

Bước 5: Giải bất phương trình.

Trừ 1 từ cả hai vế:

\[
-8x ≤ 4
\]

Chia cả hai vế cho -8 và nhớ đổi dấu bất phương trình:

\[
x ≥ -\frac{1}{2}
\]

Vậy nghiệm của bất phương trình là:

\[
x ≥ -\frac{1}{2}
\]

Hay có thể viết lại:

\[
x \in \left[-\frac{1}{2}, +\infty\right)
\]